Esercizio omomorfismi d'anello

[solaàl]

Sono sottoanelli, ma non unitari. Come gruppi abeliani sono isomorfi, perché entrambi sono Z. L'unico motivo per cui potrebbero non essere iso come anelli è che le strutture moltiplicative siano diverse. Lo sono? Supponi che esista un isomorfismo di anelli non unitari \(f : 2Z \to 3Z\); chiaramente, in quanto omomorfismo di gruppi abeliani, esso è determinato dall'immagine del generatore, perciò deve mandare 2 in 3, e 2n in 3n, e deve essere tale che \(f(2n\cdot 2m)=f(2n)f(2m)\). Ora, LHS è uguale a \(3nm\), ma RHS è uguale a \(3n\cdot 3m\).

[marco2132k]

L'idea che avevo era di far vedere che, come anelli, quei due \( 2\mathbb Z \) e \( 3\mathbb Z \) non sono isomorfi perché se lo fossero sarebbe anche \( \mathbb Z_2\cong\mathbb Z_3 \). E se non è \( 2\mathbb Z\cong 3\mathbb Z \) come gruppi non può esserlo neanche come anelli, per questo ho parlato solo di gruppi. Ovviamente non avevo speranze di risolvere così, perché, appunto, come gruppi è \( 2\mathbb Z\cong 3\mathbb Z \)...

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Ora son curioso: che cosa ho sbagliato nella dimostrazione su? poi, vale che se \( I\cong J \) per due ideali di un anello \( R \), allora \( R/I\cong R/J \)?

[solaàl]

Sì, certo, è il contrario a non valere: se due quozienti sono isomorfi non c'è motivo lo siano i denominatori.

[Overflow94]

se \( I\cong J \) per due ideali di un anello \( R \), allora \( R/I\cong R/J \)

Anche io avevo provato a risolvere l'(1) con questo approccio ma non sono riuscito a ricavare questo risultato e stavo iniziando a pensare non fosse vero, anche perché l'analogo con gruppi normali non vale. A questo punto sono curioso, qualcuno posta la dimostrazione?

[marco2132k]

Intanto ho trovato l'errore nella mia dimostrazione: non è vero che \( xN\mapsto\phi(x)N \) (se \( \phi\colon N_1\to N_2 \) isomorfismo) è ben definita: se \( xN = yN \), è sì \( y = xn \) per qualche \( n\in N \) e quindi \( \phi(y) = \phi(x)\phi(n) \), ma prima ho deciso arbitrariamente che \( \phi(n)\in N_1 \), e ciò non va bene (un controesempio è quello di @otta96: per l'iso \( \phi(x) = 3/2x \), dati \( n + \mathbb Z 2 \) e \( m + \mathbb Z 2 \) in \( \mathbb Z/{\mathbb Z 2} \), vale \( m = n + 2k \) per qualche \( k\in\mathbb Z \), ma \( \phi(m) = \phi(n) + \phi(2k) \), dove \( \phi(2k) = 2\phi(k) = 2\cdot 3/2k \) non appartiene a \( \mathbb Z 2 \)).

Ora, una domanda interessante secondo me é: quando vale quella roba che ho detta prima sui quozienti? Se forzo \(
\operatorname{Im}\phi\subset N_1 \), e quindi \( N_2\subset N_1 \), la mappa \( xN\mapsto \phi(x)N \) viene ben definita. Il punto è che allora deve essere \( N_1 = N_2 \), perché sono isomorfi per ipotesi. Quindi, c'è un esempio di sottogruppi normali (ideali), distinti e isomorfi, che diano quozienti isomorfi? (è una domanda, non lo so)

[otta96]

Certo che ci sono, basta prendere $R=ZZ^2$, $N_1={0}\timesZZ$ e $N_2=ZZ\times{0}$.
Con un po' di fantasia se ne possono trovare molti altri.

[Overflow94]

Per la $2)$ prova con P.I.D. o D.E.

Adesso che ho studiato meglio questi argomenti la soluzione del (2) è immediata.

$F[x]$ è un dominio euclideo se e solo se $F$ è un campo. Poiché $QQ$ è un campo $QQ[x]$ è un dominio euclideo, mentre $ZZ[x]$ non può esserlo altrimenti $ZZ$ sarebbe un campo.

[otta96]

Giusto.