Esercizi su polinomi e serie di potenza formali:
1) Sia $R$ un anello commutativo e sia $p(x)$ un elemento di $R[x]$. Dimostradre che $p(x)$ è nilpotente se e solo se tutti i suoi coefficienti $a_0, a_1, ... , a_n$ sono elementi nilpotenti di $R$.
2) Sia $R$ un anello commutativo unitario e sia $R[[x]]$ l'anello delle serie di potenze formali a coefficienti in $R$. Un elemento $p(x)$ di $R[[x]]$, ovvero $ p(x)=sum_(n=0)^inftya_nx^n $, è invertibile in $R[[x]]$ se e solo se $a_0$ è invertibile in $R$.
Per il punto (1) se $a_0, a_1, ... , a_n$ sono nilpotenti in $R$ per ogni $i$ si ha che esiste $k_i$ tale per cui $a_i^ (k_i)=0$, prendiamo $k=max{k_0, k_1, ... , k_n}$, si ha che $(p(x))^(nk)=0$. Mi manca da dimostrare l'implicazione nell'altro verso.
Per il punto (2) se $ p(x)=sum_(n=0)^inftya_nx^n $ ha un inverso $ g(x)=sum_(n=0)^inftyb_nx^n $ si deve avere $a_0b_0=1$ e quindi $a_0$ è invertibile. Anche qui mi manca da dimostrare il senso contrario.