Ecco la mia dimostrazione (
EDIT: sbalgiata
).
$f(x) in ZZ[x]$ e $f(x)=A(x)B(x)$ con $A(x), B(x) in QQ[x]$. Siano $a_0, ..., a_k$ i coefficienti di $A(x)$ e $b_0, ..., b_m$ quelli di $B(x)$, dimostreremo che $a_ib_j$ appartiene a $ZZ$.
Senza perdita di generalità possiamo supporre che il massimo comun divisore tra tutti i coefficienti di $f(x)$ sia $1$, la dimostrazione del caso generale in cui i coefficienti possono avere un fattore comune $d$ segue da quella del caso particolare:
$f'(x)=df(x)=A'(x)B(x)$
$A(x)=1/dA'(x)$
$f(x) = A(x)B(x)$
Si ha che $a'_ib_j=da_ib_j$, e quindi appartiene a $ZZ$ se $a_ia_j$ appartiene a $ZZ$.
Dal lemma di Gauss citato precedentemente si dimostra che esistono $r,s in QQ$ e $a(x), b(x) in ZZ[x]$ tali che:
$A(x)=ra(x)$
$B(x)=sb(x)$
$f(x)=ra(x)sb(x)$
Scriviamo $c=rs$ e quindi $f(x)=ca(x)b(x)$.
Possiamo supporre che i coefficienti di $a(x)$ non abbiano fattori in comune fra loro, infatti se così fosse possiamo adoperare le sostituzioni:
$a'(x)=da(x)$
$c=c'd$
$f(x)=c'a'(x)b(x)=ca(x)b(x)$
Lo stesso ragionamento vale per $b(x)$ che quindi supponiamo non avere fattori comuni a tutti i suoi coefficienti.
Chiamiamo $a'_0, ..., a'_k$ i coefficienti di $a(x)$ e $b'_0,...,b'_m$ quelli di $b(x)$, si ha che:
$a_ib_j=ca'_ib'_j$ con $a'_i, b'_j in ZZ$
Dimostreremo che $c=1$ concludendo quindi che $a_ib_j in ZZ$.
Scriviamo $c=g/q$ ai minimi termini, il coefficiente di grado $n$ di $f(x)$ si può scrivere come $ g/qsum_(i=0)^na'_ib'_(n-i) in ZZ$. Notiamo che $g$ è un fattore comune a tutti i coefficienti di $f(x)$ che abbiamo supposto non avere fattori comuni, quindi $g=1$ e $c=1/q$.
Poiché i coefficienti sono interi si ha che $q$ divide tutti i termini del tipo $sum_(i=0)^na'_ib'_(n-i)$, e quindi se $p$ è un primo che divide $q$ si ha che deve dividere tutti i termini che appaiono nella somma di ogni coefficiente, dimostreremo che questo è impossibile.
Se esiste un $a'_i$ e un $b'_j$ non divisibili per $p$ allora come termine della sommatoria del coefficiente di grado $i+j$ comparirà $a'_i b'_j$ che non è divisibile per $p$. Quindi o tutti i coefficienti di $a(x)$ sono divisibili per $p$ o lo sono tutti quelli di $b(x)$, in entrambi i casi ci troviamo in contraddizione in quanto li abbiamo supposti non avere fattori in comune fra loro. (
EDIT: non è vero che $p|a+b$ implica $p|a$ e $p|b$)
Ne segue che $q=1$ e quindi $c=1$ completando la dimostrazione.
