Teoria Galois

[francicko]

Quali sono gli intercampi corrispondenti ai relativi gruppi di Galois dei polinomi $x^3-1$ ed $x^5-1$?

[j18eos]

Quei polinomi hanno i coefficienti su quale campo?

[francicko]

In $ Q$ campo dei razionali.

[j18eos]

Hai provato a calcolare i gruppi di Galois di quei polinomi?

[francicko]

Sto cercando di capire la teoria, attraverso casi concreti, per cercare di avere un idea almeno delle intuizioni che hanno portato il giovane Galois a formulare la sua teoria.
Andiamo al caso in questione il polinomio $x^3-1$ esso è ovviamente risolubile per radicali, so che le sue radici esistono e sono $1,omega= (-1/2+isqrt(3)/2), omega^2=(-1/2+isqrt(3)/2)$, le relazioni tra le radici devono ovviamente essere conservate in un automorfismo, quindi $1 +omega+omega^2=0$ ed $omega×omega^2 ×1=1$, in pratica le radici vanno trasformate in radici, ed essendo che le radici come si vede devono formare inanzi tutto un gruppo ciclico rispetto alla moltiplicazione, avremo $phi(3)=2$ automorfismi possibili, pertanto avremo che banalmente il gruppo di Galois è il gruppo ciclico $C_2$, che essendo abeliano è risolubile, la corrispondenza tra gli intercampi è data da
$Q$ che è il campo fisso a cui associamo il gruppo $C_2$, ed il campo $Q(omega) $ che è il campo di spezzamento a cui associamo il gruppo $(e)$ dove le radici diventano distinguibili, la catena di risolubilita è data da $Q\subset$ $Q(omega)$ a cui corrisponde $(e)\subset$ $C_2$
Per il caso $x^5-1$ analogamente avremo che il gruppo di Galois avrà $phi(5)=4$ elementi, e sarà abeliano pertanto risolubile. Mi sbaglio?

[j18eos]

Detto \(\displaystyle G=Gal(x^3-1,\mathbb{Q})\) il gruppo Galois in questione: perché la radice \(\displaystyle1\) dovrebbe essere fissata?

EDIT: Dubbio risolto, però è \(\displaystyle\omega_2=-\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\)

[Martino]

Quali sono gli intercampi corrispondenti ai relativi gruppi di Galois dei polinomi $x^3-1$ ed $x^5-1$?

Ne abbiamo già parlato qui (io e te): https://www.matematicamente.it/forum/vi ... &p=8424614