Alegrbra 1 (anelli noetheriani)

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Buonasera,
Devo risolvere un esercizio che dice: siano A e B anelli neotheriani (Anelli in cui ogni catena di ideali è finita)
Provare che AxB è un anello neotheriano.
Secondo voi come posso provarlo?

[vict85]

Idee da parte tua? Come sono fatti gli ideali di \(A\times B\)?

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Il testo dell' esercizio non lo dice ma essendo anelli neotheriani immagino che siano catene finite.
Ho pensato di usare la proposizione che definiche
Id(AxB)= { IxJ: I iedale di A, J iedale di B}
Scrivedo cosi gli ideali di A×B come una catena di IxJ
Che è penso sia finita dato che è in prodotto cartesiamo di due catene finite di ideali, ma onestamente non ne sono sicura.
Mi scuso se non divesse essere molto chiaro non ho ben capito come devo scrivere le formule.

[gugo82]

In realtà non è chiaro l'italiano... Cura un po' di più l'espressione, please, a partire dal titolo del thread.

[vict85]

Mi riferivo alla proposizione che hai scritto lì. Dovresti cominciare a guardare come usare le formule.

Come è definito un anello noetheriano? Come potresti usare la definizione in questione e la proposizione che hai riportato per dimostrare che quel prodotto lo è?

[j18eos]

Nota a margine: in un anello (commutativo unitario) noetheriano le catene ascendenti di ideali (primi) hanno lunghezza finita.

Esempio: \(\displaystyle\mathbb{Z}\) è noetheriano, ma non è artiniano; ovvero esistono catene discendenti di ideali di lunghezza infinita!