Equazione Diofantea con numeri negativi

[Matteo3213d]

Buongiorno,
non riesco a risolvere questa equazione diofantea attraverso la divisione euclidea:
$ 56x-27y=175 $; $ x,yin Z $
Risolvo l'equazione associata:
$ 56x'-27y'=1 $
Divisone euclidea:
$ 56 = 2*27+2 $
$ 27 = 13*2+1 $
$ 2 = 2 *1 $

$ 1 = 27 - 13 * 2 $
$ 2 = 56-2*27 $
$ 1 = 27*27-13*56 $
Però, arrivato a questo punto ho i segni dei coefficienti "invertiti", e quindi non riesco a continuare.

[Overflow94]

La butto lì.

$ax + by =c <=> ax -b(-y)=c$

In altre parole $(x', y')$ è soluzione di $ax+ by=c$ se e solo se $(x', -y')$ è soluzione di $ax-by=c$.

Puoi trovare una soluzione $(x_0, z_0)$ per $56x + 27z = 1$ con i passaggi dell'algoritmo di euclide. Ponendo $y_0=-z_0$ avrai una soluzione $(x_0, y_0)$ per $56x-27y=1$.

EDIT: comunque non mi è chiarissimo perché il segno negativo disturbi, dopo farò un check sui passaggi e completerò la risposta se nel frattempo non interviene qualcun altro.

[Matteo3213d]

Ho risolto sistemando la divisione euclidea.

$ 56 = -2 * (-27)+2 $
$ -27 = -14*2+1 $
$ 2 = 2*1+0 $

$ 1 = 27+14*56-28*27 $
$ 1 = 27+14*56-28*27 $
$ 1 = -29*27+14*56 $

$x = 14 +27k; y = 29+56k$

[Matteo3213d]

Ora, però, ho lo stesso problema su questo esercizio: $45x - 8y = 231$

$45x'-8y' = 1$

$45 = -5*(-8)+5$
$-8 = -2*5+2$
$5 = 2*2+1$
$2 = 2*1+0$

$1 = 5 -2*2$
$2 = -8+2*5$
$5 = 45-5*8$

$1 = 17*8-3*45$