curve alg. irriducibili

[anto_zoolander]

Ciao!

il prof di geometria 3 durante un esempio nel quale ha mostrato che $y^3-x^2=0$ è una curva irriducibile in $CC[x,y]$ passando per un campo di quozienti.

Non basta la seguente osservazione?
$CC[x,y]=(CC[x])[y]$ ed essendo $y^3-x^2 in ( CC[x])[y]$ di grado $3$ esso sarebbe riducibile solo se per qualche polinomio $p(x) in CC[x]$, $p(x)^3-x^2=0 => p(x)^3=x^2 => 3partialp(x)=2$ da cui l'assurdo

[j18eos]

Non ho capìto l'ultimo passaggio...

[anto_zoolander]

Ciao jeos

Sostanzialmente da $p(x) ^3=x^2$
Passo 'ai gradi'

Con 'sti polinomi non ci prendo mai.

[j18eos]

Tu non vai d'accordo coi polinomi, come io non vado d'accordo con l'omologia singolare...

Praticamente, dopo aver sostituito opportunamente, ti trovi a voler risolvere l'equazione
\[
[p(x)]^3=x^2
\]
ove \(\displaystyle x\) e \(\displaystyle p(x)\) sono elementi dell'anello \(\displaystyle\mathbb{C}[x]\); poi? Applichi una derivata formale?

Bene, la sappiamo fare, ma questa non è un omomorfismo di anelli (la derivata di un prodotto non è il prodotto delle derivate)... Non va bene con le derivate; dovresti fare il contro brutale e vedere che quell'equazione non è possibile in \(\displaystyle\mathbb{C}[x]\)!

P.S.: ma che t'ha fatto di male l'applicazione regolare \(\displaystyle t\in\mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}\mapsto\left(t^3,t^2\right)\in\mathbb{A}^2_{\mathbb{C}}\)?

[anto_zoolander]

Aspe no non applico la derivata formale, passo ai gradi.
Con $partial$ intendo $deg$: $deg[p^3(x)] =deg[x^2]$

[j18eos]

Va' bene, in questo caso, ad usare il grado;

ma lo stesso \(\displaystyle\deg\) non è un omomorfismo di anelli... e come te la caveresti con curve più complicate tipo:
\[
y^3-y^2=x^2
\]
...e non parliamo delle superfici algebriche!

[anto_zoolander]

e come te la caveresti con curve più complicate...

mandandoti un PM

[j18eos]

Accetto solo e-mail così intestate:

Alla cortese attenzione di S.A.M.I.A.R.¹ prof. Capasso Armando...

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Note

1. Sua Augusta Maestà Imperiale Apostolica Reverendissima ↑