insiemi numerabili

[raimond]

Buongiorno.

In Probabilità , come spiegazione della Sigma Algebra, ad un certo punto si parla di unioni numerabili di insiemi e unioni finite di insiemi.

Questo perchè, si dice, che le unioni numerabili di insiemi sono tutte contenute nella Sigma-Algebra.
Per dimostrare che anche le unioni finite appartengono alla Sigma-Algebra, si prende l'ultimo elemento (che è un insieme) dell'unione e lo ripeto per un infinità numerabile di volte.
L'unione non cambia poichè ho ripetuto sempre lo stesso elemento, però ho ottenuto una unione numerabile di insiemi.

Da ciò apprendo che un insieme numerabile consiste in un insieme infinito di elementi numerabili mentre un insieme finito consiste in un insieme di elementi numerabili ma finito cioè di numerabilità < inf.

Qualcuno me lo puo confermare? Avete qualcosa da aggiungere o correggere a riguardo?

PS Non so se questa è la sezione indicata per questo post.

[universo]

Un insieme X si dice numerabile se esiste una funzione biunovoca $f:X\rightarrow \mathbb{N}$. Un insieme X si dice finito se esiste una funzione biietiva $g: X \rightarrow {1,2,...,n}$ oppure se non esiste una funzione biunivoca tra X e un suo sottoinsieme proprio.

[marco2132k]

Da ciò apprendo che un insieme numerabile consiste in un insieme infinito di elementi numerabili mentre un insieme finito consiste in un insieme di elementi numerabili ma finito cioè di numerabilità < inf.

?

Credo che tu ti stia facendo confusione tra insiemi finiti numerabili ecc. e famiglie finite numerabili ecc. di insiemi. La definizione di "insieme numerabile" ti è stata data; una famiglia \( \left(X_i\right)_{i\in I} \) di insiemi è una funzione (suriettiva) \( i\mapsto X_i \) che associa ad ogni elemento di un insieme "di indici" \( I \) un qualche insieme \( X_i \). Una famiglia indicizzata da un \( I \) è finita/numerabile/infinita se \( I \) è finito/numerabile/infinito.

"Famiglia numerabile" non significa "famiglia di insiemi numerabili".

"Una \( \sigma \)-algebra è chiusa per unioni numerabili" significa "se prendi l'unione¹ di una famiglia numerabile di elementi di una \( \sigma \)-algebra, hai ancora un elemento della \( \sigma \)-algebra".

Poi, formalmente hai che la chiusura per unioni numerabili² implica la chiusura per unioni finite perché... se \(
\left(X_i\right)_{i\in\{1,\dots,n\}} \) è una famiglia finita di insiemi, puoi considerare la famiglia
\[
i\mapsto
\begin{cases}
X_i & \text{se $ i\in\{1,\dots,n\} $}\\
\emptyset & \text{se $ i\in{\mathbb N}\setminus\{1,\dots,n\} $}
\end{cases}
\] e allora un esercizio di ortografia ti mostra che \( \bigcup_{i\in\{1,\dots,n\}}X_i = \bigcup_{i\in\mathbb N}X_i \).

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Note

1. Se \( \left(X_i\right)_{i\in I} \) famiglia, poniamo \( \bigcup_{i\in I}X_i = \left\{x:\text{$ x\in X_i $ per qualche $ i\in I $}\right\} \). Se la famiglia è numerabile, si vedono anche le scritture \( \bigcup_{i = 0}^n X_i \) e (in probabilità proprio, credo) \( \bigcup_{i = 0}^\infty X_i \). ↑
2. Intendo il fatto che se fai unione numerabile in \( \sigma \)-algebra hai ancora un elemento eccetera eccetera. ↑

[raimond]

"Una \( \sigma \)-algebra è chiusa per unioni numerabili" significa "se prendi l'unione¹ di una famiglia numerabile di elementi di una \( \sigma \)-algebra, hai ancora un elemento della \( \sigma \)-algebra".

Grazie per la spiegazione, in effetti per la \( \sigma \)-algebra si parla di unioni numerabili. E questa cosa ora mi è chiara.

Ho aperto un post anche nella sezione di Probabilità per discutere di \( \sigma \)-algebra. Qui mi volevo focalizzare sugli insiemi numerabili.
Ma facevo confusione, poiche confondevo le unioni con le serie

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Note

1. Se \( \left(X_i\right)_{i\in I} \) famiglia, poniamo \( \bigcup_{i\in I}X_i = \left\{x:\text{$ x\in X_i $ per qualche $ i\in I $}\right\} \). Se la famiglia è numerabile, si vedono anche le scritture \( \bigcup_{i = 0}^n X_i \) e (in probabilità proprio, credo) \( \bigcup_{i = 0}^\infty X_i \). ↑