Ciao a tutti,
c'è una parte di questo teorema che non ho capito:
TEOREMA:
Un gruppo di ordine 6 è isomorfo a ($Z_6$,+) oppure a ($S_3$°).
Dimostrazione:
Sia (G,$*$) un gruppo di ordine 6. Dal teorema di Sylow deduciamo che G ha
- un sottogruppo $H_0$ di ordine 3
- un sottogruppo $H_1$ di ordine 2
Dunque
- un elemento a di ordine 3 per il quale $H_0$=<a> = {$1_G$,a, $a^2$}
- un elemento b di ordine 2 per il quale $H_1$=<b> = {$1_G$,b}
ovviamente b non appartiene ad $H_0$.
Segue che gli elementi $1_G$,a , $a^2$, b, a$*$b, $a^2$ $*$b
sono tra loro distinti ed esauriscono dunque i sei posti a disposizione in G.
Sappiamo poi che $a^3$=$b^2$=$1_G$.
Consideriamo allora b$*$a che deve trovare posto in G e dunque coincidere con uno dei sei elementi elencati.
E' semplice escludere b$*$a=$1_G$,a,$a^2$,b altrimenti b=$a^2$,b=$1_G$, b=a, a=$1_G$ rispettivamente.
Restano allora due possibilità
1-$b*a=a*b$, in questo caso G è abeliano e si vede facilmente che è prodotto diretto interno di $H_0$ e $H_1$ e quindi isomorfo a ($Z_6$,+)
2-$b*a$=$a^2$$*$b, se ne deduce che G è isomorfo a $S_3$.
Io non ho capito il punto 2. Come fa a dedurne che G è isomorfo a $S_3$?
Grazie a tutti