da Stickelberger » 18/04/2020, 15:36
Proposizione. Sia $G$ il sottogruppo di $GL(2,QQ)$ generato dalle due matrici
$\qquad\qquad\qquad((1,0),(2,1))\qquad e\qquad ((1,2),(0,1))$
e sia $\Gamma$ il sottogruppo di $SL(2,ZZ)$ delle matrici $((a,b),(c,d))$
con $b,c$ pari e $a,d$ congrui a $1$ modulo $4$.
Allora $G=\Gamma$.
Dimostrazione. Una volta dimostrato che $\Gamma$ e’ un gruppo,
e’ chiaro che $G\subset\Gamma$, perche’ i due generatori sono in $\Gamma$.
Salto la verifica che $\Gamma$ e’ un gruppo.
Prima di iniziare la dimostrazione e’ utile osservare che per ogni $k\in ZZ$
le matrici $((1,0),(2,1))^k=((1,0),(2k,1))$ e $((1,2),(0,1))^k=((1,2k),(0,1))$ sono in $G$.
Ora sia $A=((a,b),(c,d))\in \Gamma$. Dimostriamo che $A\in G$ con induzione rispetto ad $|a|$.
Poiche’ $a$ e’ congruo a $1$ modulo $4$, il valore minimale e’ $|a|=1$,
in quel caso anche $a=1$. Ogni matrice in $\Gamma$ con $a=1$ ha la forma
$A=((1,b),(c,d))$ con $b,c$ pari e $d\equiv 1$ mod $4$.
Poiche’ $det(A)=1$, si ha che $d=bc+1$ e quindi
$A=((1,0),(c,1))((1,b),(0,1))$. Vediamo quindi che $A\in G$.
Questo conclude il caso $|a|=1$. Adesso facciamo il passo d’induzione.
Sia $A\in \Gamma$ con $|a|>1$.
L’idea e’ di scrivere la matrice $A$ come $A=A'B$ con $B\in G$ (e quindi $A'\in\Gamma$)
e dove la coordinata $a'$ della matrice $A'=((a',b'),(c',d'))$ soddisfa $|a'|<|a|$.
A quel punto abbiamo fatto per induzione.
Abbiamo che
$A((1,2k),(0,1))=((a,b),(c,d))((1,2k),(0,1))=((a,b'),(c,d'))$
con $b'=b+2ak$ e $d'=d+2ck$. Prendiamo $k$ l’intero piu’ vicino alla frazione $-b//2a$.
Abbiamo quindi che $|k+b//2a|\le 1/2$ e $|b'|=|b+2ak|\le |a|$
Poiche’ $b'$ e’ pari, ma $a$ e’ dispari, abbiamo infatti che $|b'|<|a|$.
Non e’ possibile che $b'=0$, perche’ in quel caso avremmo che $1 = det(A) = ad'$
e quindi anche $a=1$. Ma per ipotesi $|a|>1$.
Similmente abbiamo che
$((a,b'),(c,d'))((1,0),(2k',1))=((a',b'),(c',d'))$
con $a'=a+2b'k'$ e $c'=c+2d'k'$. Prendiamo $k'$ l’intero piu’ vicino alla frazione $-a//2b'$.
Otteniamo come sopra la disuguaglianza $|a'|<|b'|$. Ne segue che la coordinata $a'$ della matrice
$A'=((a',b'),(c',d'))$ soddisfa $|a'|< |b'|<|a|$. Per costruzione abbiamo che $A=A'B$ con
$B=((1,0),(2k',1))^{-1}((1,2k),(0,1))^{-1}$ in $G$.
Fatto.
