esercizio calcolo combinatorio

[carmelo1311]

salve,non riesco a risolvere un'esercizio di matematica discreta,è sul calcolo combinatorio e dice:
Una decorazione natalizia è formata da 5 palline colorate allineate.Avendo a disposizione palline dorate,rosse,bianche,blu e verdi, calcolare in quanti modi è possibile creare una decorazione natalizia,con la condizione che almeno tre palline adiacenti siano dello stesso colore.
non so davvero che pesci prendere, grazie in anticipo per chi mi aiuta.

[superpippone]

Hai le seguenti possibilità:
a) 3 adiacenti di un colore, e le altre 2 a scelta tra gli altri 4 colori $5*3*4^2=240$
b) 4 adiacenti di un colore, e l'altra a scelta tra gli altri 4 colori $5*2*4=40$
c) tutte e 5 dello stesso colore $5$

Totale $240+40+5=285$

[gugo82]

Ho una risposta che "completa" quella già risolutiva di superpippone.
La posto appena trovo un po' di calma.

*** EDIT:

Molte volte basta fare un disegno per capire come vanno le cose.

Ad esempio, le configurazioni che interessano sono:

1. \( *\ *\ *\ *\ * \),
   
   
2. \( \times\ *\ *\ *\ *\),
   
   
3. \(*\ *\ *\ *\ \times \),
   
   
4. \(\times\ \square\ *\ *\ *\),
   
   
5. \(\times\ *\ *\ *\ \square\),
   
   
6. \(*\ *\ *\ \times\ \square\)

in cui \( *, \times , \square \in \{ {\color{yellow} \bullet}, {\color{red} \bullet}, \circ, {\color{blue} \bullet}, {\color{green} \bullet}\}\) ed i simboli $**$, \(\times\) e \(\square\) vanno scelti in modo che ogni tipo di combinazione di colori compaia una sola volta nel conteggio.¹

Le configurazioni 1 - 5 si possono ottenere nei seguenti modi:

1. $5$ modi differenti (basta scegliere un simbolo solo $**$ in uno dei $5$ modi disponibili),
   
   
2. $5*4$ modi differenti (basta scegliere il simbolo $**$ in uno dei $5$ modi possibili e $xx$ in uno dei $4$ modi rimanenti),
   
   
3. come sopra, cioè $5*4$ modi differenti,
   
   
4. $5*4*5$ modi differenti (basta scegliere il simbolo $**$ in uno dei $5$ modi possibili, \(\square\) in uno dei $4$ modi rimanenti e $xx$ in uno dei $5$ modi possibili²),
   
   
5. come sopra, $5*4*4$ modi differenti (basta scegliere il simbolo $**$ in uno dei $5$ modi possibili e $xx$ e \(\square\) in uno dei rimanenti $4$ modi),
   
   
6. come sopra, $5*4*5$ modi differenti;

in totale:

$5 + 2*4*5 + 2*5*4*5 + 4^2*5 = 5 + 40 + 200 + 80 = 325$ modi differenti.

---

Note

1. Per capirci, la combinazione \({\color{red} \bullet}\ {\color{red} \bullet}\ {\color{red} \bullet}\ {\color{red} \bullet}\ {\color{red} \bullet}\) deve essere contata solo nel caso 1, quindi nei casi seguenti non deve essere considerata. ↑
2. Ad esempio, una combinazione tipo \({\color{red} \bullet}\ {\color{yellow} \bullet}\ {\color{red} \bullet}\ {\color{red} \bullet}\ {\color{red} \bullet}\) è lecita. ↑

[superpippone]

Ho commesso un errore, che risulta evidente dalla tabellina pubblicata da Gugo.
Nelle righe 4 e 6, nulla vieta che la prima, o l'ultima pallina sia dello stesso colore della "terna".
Pertanto ci sono ulteriori 40 possibili decorazioni, per un totale di$325$.

[gugo82]

Ho commesso un errore, che risulta evidente dalla tabellina pubblicata da Gugo.
Nelle righe 4 e 6, nulla vieta che la prima, o l'ultima pallina sia dello stesso colore della "terna".
Pertanto ci sono ulteriori 40 possibili decorazioni, per un totale di$325$.

E pure hai ragione!

Ora correggo.