Esercizio sulle strutture algebriche.

[Pasquale 90]

Buongiorno, ho il seguente esercizio:

Provare che l'insieme $S$ delle matrici quadrata dalla forma

\(\displaystyle\begin{vmatrix} x & 0 \\ z & v \end{vmatrix} \)

su $ZZ_4$ è stabile rispetto all'operazione $cdot$ in $M_2(ZZ_4)$ e che la struttura algebrica $S(cdot)$ è un semigruppo unitario. Determinare gli elementi invertibili di $S(cdot)$.

Mi sono risposto così:
1) Per verificare la stabilità occorre provare $acdotb$ per ogni $a,b in S$, risulta

\(\displaystyle a \cdot b=\begin{vmatrix} x_1 & 0 \\ z_1 & v_1 \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix} x_2 & 0 \\ z_2 & v_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x_1x_2 & 0 \\ z_1x_2+v_1z_2 & v_1v_2 \end{vmatrix}=c \)

poiché gli elementi presenti nella matrice $c$, sono elementi di $ZZ_4$ e l'operazione $cdot$ è l'operazione di $ZZ_4$ ovvero è il prodotto di $ZZ_4$ tra classi di resto modulo $4$ per cui continua ad appartenere a $ZZ_4$, quindi $c in S$ cioè $S$ è stabile. Inoltre ha senso considerare la struttura algebrica $S(cdot)$
2)(Quì sono un pò titubante) Posso considerare l'omomorfismo tra le due strutture algebriche $M_2(ZZ_4)(cdot)$ e $S(cdot)$ ossia

\(\displaystyle F:A \in M_2(\mathbb{Z_4}) \to\ F(A)=\begin{cases} I_2, & \mbox{se }A=I_2 \\ B, & \mbox{se }A \ne I_2
\end{cases} \in S \)

Per come è stata definita $F$ è suriettiva, allora dal primo teorema sull'omomorfismo si ha
l'elemento neutro $I_2$ di $M_2(ZZ_4)$ risulta $F(I_2)$ è elemento neutro di $S$,
l'operazione $cdot $ in $M_2(ZZ_4)$ è associativa, allora risulta essere tale anche in $S$.
Quindi questo prova che $S(cdot)$ è un semigruppo unitario.
3)Sia $U(S)(cdot)={X in S:exists X^(-1)}={X in S: detX={-1,1}}$

In attesa di un riscontro, buona giornata.

[apatriarca]

Non capisco la mappa al secondo punto. \(S(\cdot)\) è un sottosemigruppo di \(M_2(\mathbb Z_4)\). Come per tutti i sotto-oggetti, un monomorfismo (l'inclusione) va dal sotto-oggetto all'oggetto che lo contiene.

Tu stai invece cercando di definire un epimorfismo che va da \(M_2(\mathbb Z_4)\) a \(S(\cdot)\). Mappa che non è neanche ben definita perché considera come caso particolare \(I_2\) (che appartiene al tuo sotto-semigruppo e non ha quindi bisogno di alcun trattamento particolare), ma non definisce qual è il valore di \(B\) per le altre matrici. Suppongo sia \(A\) con il valore in alto a destra uguale a zero. Stai insomma cercando di definire un semigruppo quoziente invece di un sotto-semigruppo come mi aspetterei in un esercizio di questo tipo. Tuttavia la mappa non è un morfismo di semigruppi siccome \(F(A) \cdot F(B) \neq F(A \cdot B)\) e quindi non può essere usata per stabilire se \(S\) è un semigruppo unitario come hai fatto.

Credo che gli altri punti siano in effetti corretti anche se scriverei \(-1\) e \(1\) come classi di resto essendo valori di \(\mathbb Z_4\) e non numeri interi o reali.

[Pasquale 90]

Ciao apatriarca, mi rileggo la teoria e rispondo. Grazie per il momento.

[gugo82]

Per provare che $S$ è un semigruppo basta fare i conti, i.e. basta provare che vale la proprietà associativa $(a*b)*c=a*(b*c)$ per ogni $a,b,c in S$.

[Pasquale 90]

Per provare che $ S $ è un semigruppo basta fare i conti $ (a*b)*c=a*(b*c) $ per ogni $ a,b,c in S $.

quindi si potrebbe commentare osservando la risposta in 1) dato che $a, b in S$ risulta $acdotb in S$, alla fine si dovrebbe far osservare solo il fatto che $S$ ammetta lo stesso elemento neutro di $M_2(Z_4)$, per cui si prova che $S(cdot)$ è un semigruppo unitario.
Giusto ?

[gugo82]

Per provare che $ S $ è un semigruppo basta fare i conti $ (a*b)*c=a*(b*c) $ per ogni $ a,b,c in S $.

quindi si potrebbe commentare osservando la risposta in 1) dato che $a, b in S$ risulta $acdotb in S$, alla fine si dovrebbe far osservare solo il fatto che $S$ ammetta lo stesso elemento neutro di $M_2(Z_4)$, per cui si prova che $S(cdot)$ è un semigruppo unitario.
Giusto ?

Questo che hai scritto non c'entra nulla col problema della associatività, te ne rendi conto?

[apatriarca]

@gugo82: Sono un po' arrugginito in queste cose, ma l'associatività non deriva automaticamente dal fatto che il sotto-insieme è chiuso rispetto a questa operazione associativa (nel semigruppo che lo contiene)? Nel caso generale è necessario fare un test per l'associatività ma qui mi sembra più semplice far vedere che è un sotto-semigruppo di \(M_2(\mathbb Z_4)\)

[gugo82]

@ apatriarca: Se sei arrugiinito tu, figurati io...

Ad ogni modo, probabilmente no.
Però qualche algebrista di passaggio potrebbe dirimere la questione.

[j18eos]

1) Considerato \(\displaystyle S\) come sottoinsieme di \(\displaystyle M_2^2(\mathbb{Z}_4)\), e con l'usuale operazione di prodotto: una volta dimostrato che questi è stabile, e che possiede la matrice identità, hai concluso che questi è un monoide (ovvero è un semigruppo unitario).

2) Non ho capìto nulla!

3) Perfetto!

[Pasquale 90]

Buongiorno,
allora considero \(\displaystyle I_2=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \) dobbiamo far vedere $xcdotI_2=I_2cdotx=x$ con $x in S$ infatti,
\(\displaystyle x\cdot I_2=\begin{vmatrix} a & 0 \\ b & c \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a \cdot 1 + 0 \cdot 0 & a \cdot 0+0 \cdot 1 \\ b \cdot 1 + c \cdot 0 & b \cdot 0+c \cdot 1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a \cdot 1 & 0 \\ b \cdot 1 & c \cdot 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 \cdot a & 0 \\ 1 \cdot b & 1 \cdot c \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} a & 0 \\ b & c \end{vmatrix}=I_2 \cdot x =x \)
invece $cdot$ è associativa poichè è l'operazione indotta.

Invece il secondo punto volevo sfruttare il fatto che le proprietà di una struttura algebrica si conservano per gli epimorfismi, ma forse ho sbagliato ad impostare la facenda