Buonasera dovrei provare la seguente caratterizzazione dell'iniettività.
Sia $f:S to T$ e $A,B subseteq S$ con $f$ iniettiva, si ha $f(A cap B)=f(A)capf(B)$
Procedo cosi, ditemi dove sbaglio,
"$subseteq$"
Proprietà
$g:Y to O$ siano $Q,E subseteq Y$ risulta: $Q subseteq E \ to \ g(Q) subseteq g(E)$
Allora:
$A cap B subseteq A \ to f(AcapB)subseteq f(A)$
$AcapBsubseteqB\to\f(AcapB)subseteqf(B)$
quindi infine:
$f(AcapB)subseteq f(AcapB)capf(AcapB)subseteq f(A)capf(B) tof(AcapB)subseteq f(A)capf(B)$
"$supseteq$"
$y in f(A) capf(B) \ to\ y in f(A), y in f(B) \to\ exists a in A:y=f(a) \qquad exists b in B:y=f(b)$
Poichè $f$ è iniettiva,quindi consideriamo $a in A,\ b in B$, da $f(a)=f(b) leftrightarrow y=f(b) \ to a=b$ allora $b in AcapB \:\ y=f(b) to y in f(AcapB).$
Ciao