disuguaglianza con divisione e max num cifre

[zio_mangrovia]

Ho una divisione tra numeri naturali data una base $\beta$ dove

$X = Q * Y + R$

$0<= X <= \beta^(m+n)-1$
$0<= Y <= \beta^m-1$
$m, n$ rappresentano il numero di cifre.

Desidero rappresentare il quoziente sempre su n cifre, quindi assumo che Q stia su n cifre:

$X = Q * Y + R <= (\beta^n-1)Y +(Y-1)= \beta^nY-1$
si dice l'ipotesi aggiuntiva che mi garantisce che il quoziente stia su n cifre è $X < \beta^n*Y$

Non capisco il senso della disuguaglianza:
al posto di $Q$ è stato inserito il suo valore max su n cifre, cioè $\beta^n-1$, mentre al posto del resto il suo valore massimo, cioè $Y-1$.
Ma perchè sono stati inseriti i valori massimi ?!?! Come si giustifica questo ? Avrei potuto mettere anche il valore minimo su enne cifre del quoziente, no ?

[gugo82]

In verità, quel che non si capisce è la richiesta... Cosa ti serve?

[zio_mangrovia]

In verità, quel che non si capisce è la richiesta... Cosa ti serve?

Credevo di averlo scritto.

al posto di Q è stato inserito il suo valore max su n cifre, cioè $\beta^n−1$, mentre al posto del resto il suo valore massimo, cioè $Y−1$.
Perchè affinché il resto sia su $n$ cifre si sostituisce a Q e Y i sui valori massimi nella disuguaglianza?
Non è sufficiente imporre che Q sia una qualsiasi cifra elevato alla enne ?