Due forme dell'assioma di scelta
Inviato: 22/04/2020, 22:12
In una discussione di tempo fa, avevo utilizzato l'assioma di scelta, in entrambe le sue due forme equivalenti qui riportate (riprendo esattamente ciò che avevo scritto a suo tempo):
Per ogni famiglia $\mathcal{F}$ di insiemi $X$ non vuoti a coppie disgiunti, esiste un insieme $C$ di scelta.
e:
Per ogni famiglia $\mathcal{F}$ di insiemi $X$ non vuoti, esiste una funzione $g$ di scelta.
Dicendo di scelta significa che $C$ è tale che $C \bigcap X$ consiste in un solo elemento per ogni $X$ della famiglia, mentre nella seconda forma vuol dire che la funzione $g:\mathcal{F} \rightarrow \bigcup \mathcal{F}$ è tale che per ogni insieme $X$ della famiglia si abbia $g(X) \in X$.
Mi è venuto un dubbio di quelli classificabili come "pippa mentale", ma tant'è: provo ad esporlo.
Nel cercare di dimostrare che il primo enunciato implica il secondo, ho notato banalmente che dall'ipotesi esiste \(\displaystyle C \) tale che \(\displaystyle X\cap C \) è un singoletto \(\displaystyle \implies \) l'insieme delle coppie ordinate che vede come primo elemento un qualunque \(\displaystyle X\in \mathcal{F} \) e come secondo elemento l'unico oggetto dell'insieme \(\displaystyle C\cap X \) è ovviamente una relazione (sottoinsieme del prodotto cartesiano tra \(\displaystyle \mathcal{F} \) e \(\displaystyle \bigcup \mathcal{F} \)) di tipo funzionale.
Domanda: oltre a chiedere una conferma sulla correttezza della dimostrazione, vi domando come, formalmente, andrebbe definita la funzione sopra cercata? Nel seguente modo?
$$ \left\{(X,x)\in\mathcal{F}\times \bigcup\mathcal{F} \;\;|\;\; X\in\mathcal{F}, x\in X\cap C\right\} $$
Non avendo mai studiato seriamente la teoria degli insiemi mi è venuta anche questa curiosità su come andrebbe veramente scritta.
Grazie in anticipo.
Per ogni famiglia $\mathcal{F}$ di insiemi $X$ non vuoti a coppie disgiunti, esiste un insieme $C$ di scelta.
e:
Per ogni famiglia $\mathcal{F}$ di insiemi $X$ non vuoti, esiste una funzione $g$ di scelta.
Dicendo di scelta significa che $C$ è tale che $C \bigcap X$ consiste in un solo elemento per ogni $X$ della famiglia, mentre nella seconda forma vuol dire che la funzione $g:\mathcal{F} \rightarrow \bigcup \mathcal{F}$ è tale che per ogni insieme $X$ della famiglia si abbia $g(X) \in X$.
Mi è venuto un dubbio di quelli classificabili come "pippa mentale", ma tant'è: provo ad esporlo.
Nel cercare di dimostrare che il primo enunciato implica il secondo, ho notato banalmente che dall'ipotesi esiste \(\displaystyle C \) tale che \(\displaystyle X\cap C \) è un singoletto \(\displaystyle \implies \) l'insieme delle coppie ordinate che vede come primo elemento un qualunque \(\displaystyle X\in \mathcal{F} \) e come secondo elemento l'unico oggetto dell'insieme \(\displaystyle C\cap X \) è ovviamente una relazione (sottoinsieme del prodotto cartesiano tra \(\displaystyle \mathcal{F} \) e \(\displaystyle \bigcup \mathcal{F} \)) di tipo funzionale.
Domanda: oltre a chiedere una conferma sulla correttezza della dimostrazione, vi domando come, formalmente, andrebbe definita la funzione sopra cercata? Nel seguente modo?
$$ \left\{(X,x)\in\mathcal{F}\times \bigcup\mathcal{F} \;\;|\;\; X\in\mathcal{F}, x\in X\cap C\right\} $$
Non avendo mai studiato seriamente la teoria degli insiemi mi è venuta anche questa curiosità su come andrebbe veramente scritta.
Grazie in anticipo.