Lemmi di Burnside.

[3m0o]

Salve, discutendo con il mio coinquilino, studente di fisica, ho notato una versione che non avevo mai visto del lemma di Burnside. E stavo cercando di capire come sono legate, se lo sono, ma non riesco.
La versione che ho sempre visto io è, che se \(G \) è un gruppo e \( X \) un \(G\)-insieme, allora
\[ \left| X/ G \right| = \frac{1}{\left|G\right|} \sum_{g \in G} \left| X^g \right| \]
dove \( X^g = \{ x \in X : g \cdot x = x \} \).
Mentre la versione che ha lui per quantistica è che dato un gruppo \( G \) e le sue rappresentazioni irriducibili \( \Gamma_1, \ldots, \Gamma_{n} \) allora
\[ \left| G \right| = \sum_{i=1}^{n} \left( \dim (\Gamma_i) \right)^2 \]

Mi chiedevo se semplicemente hanno lo stesso nome oppure se sono legate e sono io che non vedo il legame.

Premetto che non ho mai fatto rappresentazioni dei gruppi.

[solaàl]

Forse se fai agire $G$ su sé stesso per traslazione, o su $k[G]$...?

[3m0o]

Forse se fai agire $G$ su sé stesso per traslazione, o su $k[G]$...?

Ma facendo agire \( G \) su se stesso per traslazione ottengo che per ogni \( g \neq e_G \), \( X^g = \emptyset \) e per \( X^{e_G} = G \), come sono legate le due cose ?

Cioè, mi domandavo come si traducesse \( \dim(\Gamma_i)^2\) nell'altro modo.

[solaàl]

Sì, forse volevo dire farlo agire su \(k^{|G|}\), intendendo con questo lo spazio vettoriale sottostante alla group algebra \(k[G]\)... Ora non ricordo bene. Nota che nella prima equazione la somma ha senso solo se gli $X^g$ sono quasi tutti vuoti, oppure se $G$ è finito e tutti gli $X^g$ sono finiti, oppure... Insomma, quelo che hai scritto non è sempre vero.

Così come non mi sembra un fatto generale nemmeno la seconda asserzione: lì l'azione di $G$ è lineare, e non riesce a venirmi in mente un motivo per cui \(\dim \Gamma_i = \frac{|V^g|}{|G|}\) (e come si lega $n$ a $|G|$? Insomma... non è chiaro.)

I due risultati non mi sembrano legati. Ma aspettiamo pareri più autorevoli. Probabilmente è solo un accidente di notazione, o una delle tante magagne che rendono impossibile comunicare tra matematici e fisici.

[Vidocq]

Pag. 49?

https://www.niu.edu/rwinkler/teaching/group-11/g-lecture.pdf

[Vidocq]

Corollario

Siano \(\displaystyle \Gamma _{1}, \Gamma _{2},\ldots,\Gamma _{k} \) tutte le rappresentazioni irriducibili distinte di un gruppo \(\displaystyle G \). Allora

\(\displaystyle \left| G \right|=\sum_{i=1}^{k}\dim\left ( \Gamma _{i} \right )^{2} \)

Dimostrazione.
Vedi pagina 33.