Potenze intere di numeri primi.

[3m0o]

Questa notte pensando un po', mi sono chiesto se fosse vero o falso quanto segue, ma non riesco ne a dimostrarlo ne a darne un controesempio.

Siano \(p,q \) due numeri primi distinti e siano \(x,y \in \mathbb{N} \), abbiamo che
\[ \frac{\log(p)}{\log(q)} = \frac{\log(x)}{\log(y)} \]
se e solo se \( x = p^n \) e \( y= q^n \) per qualche \( n \in \mathbb{N}^* \).

Una direzione è immediata, l'altra ad intuito direi che è vera, ma non riesco proprio a capire come poterla dimostrare.

[Pierlu11]

Io ho provato a dimostrarla così ma dovrei pensarci su perchè potrebbero esserci inesattezze...
Dalla relazione che hai scritto abbiamo anche che
\[
\frac{log(x)}{log(p)}=\frac{log(y)}{log(q)}
\]
dunque, per la regola del cambio di base
\[
log_p(x)=log_q(y)=n
\]
allora
\[
x=p^n
\]
e
\[
y=q^n
\]
(dal fatto che $x$,$y$,$p$ e $q$ sono interi dovrebbe seguire che anche $n$ è un intero altrimenti non si avrebbero le ultime uguaglianze).

[3m0o]

Non c'è nulla che ti assicura che \(n\) sia intero. È fondamentalmente quello che voglio dimostrare (o confutare)

[Stickelberger]

Non c'è nulla che ti assicura che \( n \) sia intero. È fondamentalmente quello che voglio dimostrare (o confutare)

Infatti, il problema e' equivalente a questo problema:

Se $p,q$ sono due primi distinti e $c\in RR$ e' tale che $p^c$ e $q^c$
sono interi positivi, allora $c$ deve essere un numero naturale?

Si tratta di un problema, sempre aperto, di Alaoglu e Erdo"s (1944).
(Si veda On Highly Composite and Similar Numbers, Transactions AMS, 56, (1944) 448–469.)

Sembra che per tre primi il problema e' stato risolto:
https://link.springer.com/article/10.1007/s12045-018-0676-1

[3m0o]

Ah ecco, allora posso anche smettere di provare a dimostrare o confutare questa cosa