Generatore di un gruppo

[milos144]

Ho un dubbio:
se considero l'operazione $x*y = x+y+5$ , $ (Z,*)$, rispetto a questa operazione, é un gruppo abeliano, questo l'ho verificato.
Come faccio a trovare il generatore.
Devo pensare a questo gruppo come un laterale del gruppo additivo $(Z,+)$, cioé $ Z - 3$

Grazie

[marco2132k]

Ciao. Quanto fa \( x\cdot x \)? Quanto fa \( x\cdot x\cdot x \)? Quanto fa \( x\cdot x\cdot x\cdot x \)? Quanto fa \( {\cdot}_{\,i = 1}^{\,n}\, x \)?

[milos144]

Ho fatto un pó di conticini e arrivo a
$ nx + (n-1)3$ con $n in N$
Questo mi potrebbe servire per trovare per esempio un sottogruppo di $(Z, .)$
Nel senso che faccio l'unione di
$ nx + (n-1)3 uu n(-x) + (n-1)3$, dove con $(-x)$ intendo l'inverso.
Ma non capisco come da qui arrivo ai generatori.

[milos144]

Se qualcuno mi vuole dare una mano....grazie mille.

[Stickelberger]

Sia $ZZ$ il solito gruppo additivo. Scrivo $ZZ'$ per il tuo gruppo.
Allora l'applicazione $f:ZZ'\rightarrow ZZ$ data da $f(x)=x+5$
e' un isomorfismo. I generatori $\pm 1$ del solito gruppo $\ZZ$
corrispondono ai generatori $-4$ e $-6$ di $ZZ'$.

[hydro]

Vedi facilmente per induzione che $x^n=nx+5(n-1)$ per ogni $x,n\in\mathbb Z$. Se $x_0\in \mathbb Z$ è un generatore, allora per ogni $m\in \mathbb Z$ deve esistere $n\in \mathbb Z$ tale che $x_0^n=m$. Allora $nx_0+5(n-1)=m$ deve avere una soluzione per ogni $m$ fissato. Questa si riscrive come $(5+x_0)n=m+5$, quindi $5+x_0$ deve dividere $m+5$ per ogni $m$. Chiaramente le uniche opzioni sono $x_0=-4,-6$. D'altronde $(-4)^n=n-5$, quindi vedi bene che $-4$ è un generatore, e l'altro è necessariamente $-6$.

[milos144]

Grazie mille per le spiegazioni.
Se considero ora $(Z,+)$, posso dire che, il sottogruppo $5Z= ....-10,-5,0,5,10...$,
nel gruppo $Z'$ con l'operazione $x*y=x+y+5$ é quello dato da
$  5^n=n5+5(n−1) uu  (-10)^n=n(-10)+5(n−1)$
Dove $-10$ é l'inverso di $5$ in $Z'$

[milos144]

Buonasera a tutti, quando avete del tempo potete dare un'occhiata ....ho qualche dubbio su come definire i sottogruppi del gruppo in questione.
Grazie comunque