Iniettività di una funzione in Z

[gigi1010]

Salve, non ho capito bene l'argomento della cancellabilità di un elemento quando ci troviamo nell'insieme quoziente $ZZ$ rispetto alla divisibilità.
Per la precisione, il problema è questo:

Data la funzione $ f: ZZ_(15) -> ZZ_(15)$ definita ponendo $f(a) = a*[6]_(15) $ determinare se essa è iniettiva.

Ora provare che la classe di $6$ è cancellabile equivale a dire che la funzione è iniettiva giusto?
Mi sono proprio perso, aiutatemi...
Grazie.

[gugo82]

Certo, se $[6]_(15)$ è cancellabile allora $f(a)=f(b) => a=b$ in $ZZ_(15)$; quindi sei a cavallo.

D'altra parte, puoi costruire esplicitamente gli $f(a)$ e vedere che ci sono cose che non vanno: infatti (ometto le parentesi quadre ed il pedice $15$ -che notazione inutilmente pesante!-: tutte le seguenti sono classi di equivalenza modulo $15$):
\[
\begin{matrix}
a & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\
f(a) & 0 & 6 & 12 & 3 & 9 & 0 & 6 & 12 & 3 & 9 & 0 & 6 & 12 & 3 & 9
\end{matrix}
\]
e si vede "a occhio" che $f$ non è iniettiva nemmeno per idea.

[gigi1010]

Certo, se $[6]_(15)$ è cancellabile allora $f(a)=f(b) => a=b$ in $ZZ_(15)$; quindi sei a cavallo.

D'altra parte, puoi costruire esplicitamente gli $f(a)$ e vedere che ci sono cose che non vanno: infatti (ometto le parentesi quadre ed il pedice $15$ -che notazione inutilmente pesante!-: tutte le seguenti sono classi di equivalenza modulo $15$):
\[
\begin{matrix}
a & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\
f(a) & 0 & 6 & 12 & 3 & 9 & 0 & 6 & 12 & 3 & 9 & 0 & 6 & 12 & 3 & 9
\end{matrix}
\]
e si vede "a occhio" che $f$ non è iniettiva nemmeno per idea.

Ciao, grazie per la tempestiva risposta.
Ok adesso mi è chiaro che la funzione non è iniettiva, ma nel caso non volessi esplicitare gli f(a), come faccio a vedere se un elemento è cancellabile in un generale Zm? Parto dall'invertibilità? Quindi se MCD(a, m) = 1?

[gugo82]

Già.

[gigi1010]

Ciao, riattivo questa discussione per non crearne un'altra per chiedere un aiutino su un esercizio che riguarda sempre Z e le classi di resto.
L'esercizio chiede:
Sia $ K = Z_7 - {[0]_7} $
e *: $ (a,b) in KxxK |-> bar(3)ab in K $ una funzione.
Stabilire e giustificare se essa è ben definita. Dire se è associativa e commutativa e vedere se esiste neutro in (K,*).
Allora per come ho ragionato io mi sento di dire che è ben definita(ho esplicitato la funzione e provato con valori casuali), commutativa e associativa(?) , e penso che l'elemento neutro sia la classe di 1, è giusto?

[gugo82]

Che vuol dire “ho provato con valori casuali”?
O provi con tutti i valori o lo dimostri in altro modo.

Poi, la commutatività sembra ovvia… Meno ovvia pare l’associatività. Come hai ragionato?

Inoltre, “penso che…” e la Matematica hanno poco da spartire.

[gigi1010]

Hai ragione, mi spiace apparire totalmente confuso ma ho bisogno di chiarimenti..Mi potresti spiegare innanzitutto come verificare che è ben definita?
Un numero può appartenere a una sola classe di resto, quindi da un numero non partiranno mai due frecce verso due classi di resto distinte, è così che devo ragionare?

[gugo82]

I numeri, qui, non ci sono: le “frecce” partono da classi di resto ed arrivano su classi di resto.

“Ben definita” vuol dire che se $a equiv_7 alpha$ e $b equiv_7 beta$ allora $bar(a) ** bar(b) = bar(alpha) ** bar(beta)$. Riesci a dimostrarlo?


P.S.: Visto che è ovvio dal contesto che stai operando modulo $7$, usa la sopralineatura $bar(*)$ invece di $[*]_7$ per denotare le classi… Sprechi meno tempo.