Anello fattoriale

[IngegnerCane]

Buongiorno a tutti,
ho inserito informazioni sbagliate. Il mio quesito era il presente:

Dire se Q[i$sqrt6$] è un dominio fattoriale, principale o euclideo. Non riesco a capire come iniziare.
Come approccio ho pensato di negare che sia fattoriale, quindi ho preso un numero in Q[i$sqrt6$] ed ho cercato di far vedere che non esiste una fattorizzazione unica per scriverlo il numero in questione è
10 = (2+i$sqrt6$) (2-i$sqrt6$) = 2 $*$ 5
Sono riuscito a dimostrare che 2, 5, (2+i$sqrt6$) e (2-i$sqrt6$) sono irriducibili, ma ora sono bloccato perchè ho provato a dimostrare che questi elementi non siano associati tra di loro ma mi risultano tutti associati tra di loro. Quindi questa dimostrazione è a vicolo cieco. Dove sbaglio e come potrei procedere?

Grazie a tutti

[IngegnerCane]

Scusa avevo sbagliato l'intestazione dell'esercizio, e ho aggiornato il post correttamente

[IngegnerCane]

Ho escluso le banalità quindi 2 $!=$ 0 $^^$ 2 non invertibile in quanto la sua norma euclidea è 4>1.
Allora posso scrivere 2 nel seguente modo 2=z1 z2 per qualche z1,z2 $in$ $QQ$ [i$sqrt6$]
passando alle norme
N(2)=N(z1) N(z2) quindi 4 = N(z1) N(z2)
A questo punto ho 2 possibilità:
$\mathfrak{1}$ N(z1)=2 $^^$ N(z2) = 2
$\mathfrak{2}$ N(z1)=1 $^^$ N(z2) = 4

Cerco di escludere $\mathfrak{1}$ supponendolo vero per assurdo:

N(z1)=2 quindi 2=$a^2$+6$b^2$

ma qui non ho trovato nessun valore che soddisfi l'equazione

[IngegnerCane]

ma 2 devo valutarlo nel dominio $QQ[isqrt6]={a+ibsqrt6 | a,b in QQ$ non in $QQ$
quindi devo poter scrivere 2 nella forma $2=(a+ibsqrt6)(a-ibsqrt6)$
ma questa equazione non è possibile per nessun valore di a e di b $\Rightarrow$ 2 è irriducibile in $QQ[isqrt6]$

[IngegnerCane]

Ok scusa ho il cervello in pappa. Ora ho capito.
Ma non so come utilizzare il tuo suggerimento. Cioè osservare che $QQ[sqrt−6] ≃ QQ [x] / (x^2+6)$

[IngegnerCane]

Se $QQ [x] \/ (x^2 + 6)$ fosse un campo vorrebbe dire che $QQ[sqrt-6]$ è un campo.....Giusto? non vorrei dire stupidaggini.
Se così fosse allora avrei che $QQ[sqrt-6]$ contiene solo elementi invertibili

Scusa ma non ancora sono arrivato con il programma ai polinomi.
Se volessi spiegarlo tramite norme euclidee basterebbe dire che preso un qualunque $z in QQ[sqrt-6] $
$N(z)=a^2 + 6 b^2 = 1$?

[IngegnerCane]

Per provare ad invertire gli elementi a mano cosa mi consigli?

Grazie per il consiglio, ma fin quando non avrò chiaro in mente tutti i concetti legati ai polinomi vorrei evitarli.

[IngegnerCane]

ma in teoria ogni elemento di $QQ[sqrt-6]$ può essere scritto nella forma $v=1/u$ con $u!=0$

[IngegnerCane]

u

Insomma, prendi un elemento generico non nullo $u in QQ[sqrt(-6)]$. Vuoi trovare l'inverso. Questo $u$ si scrive $u=a+sqrt(-6) b$; allora devi cercare un $v=c+sqrt(-6) d$ tale che uv=1, cioè tale che...

$(a+sqrt(-6) b)(c+sqrt(-6) d)=1$ $\Leftrightarrow$ $ac+bcsqrt(-6) +adsqrt(-6) - bdsqrt6=1$
cosa faccio con questo mostro?

[IngegnerCane]

ok da quella equazione sono riuscito a concludere che
per $b=0$ si ha $c=1/a$ con $a!=0$
per $b!=0$ si ha $d=(ac-1)/(bsqrt6)$

queste condizioni sono sempre verificate in $QQ$
$rArr$ ogni elemento di $QQ[sqrt(-6)]$ è invertibile
$rArr$ $QQ[sqrt(-6)]$ è un campo
questo vuol dire che non ci sono elementi irriducibili quindi non è UDF. Giusto?

grazie mille per la tua infinita pazienza