Domini a ideali principali

Messaggioda IngegnerCane » 08/05/2020, 00:31

Buonasera,
potreste per favore darmi una delucidazione sul prodotto diretto di due domini?
Da fonti bibliografiche e dagli appunti delle lezioni ho appreso che pur avendo due domini A e B, non succederà mai che A x B sia un dominio.

Ma se considerassi che uno è un dominio e l'altro è {0}, riesco a dimostrare che AxB è un dominio?

Ho supposto A dominio e B={0}, se considero (a,0), (a',0) $in$ Ax{0}
(a,0)(a',0)=(0,0) $\Leftrightarrow$ (a,0)=(0,0) $vv$ (a',0)=(0,0)
se (a,0)=(0,0) $\Rightarrow$ necessariamente a=0 perchè A è un dominio e non ha divisori di 0
se (a',0)=(0,0) $\Rightarrow$ necessariamente a'=0 perchè A è un dominio e non ha divisori di 0
allora Ax{0} è un dominio.

Pensate sia fattibile?
Grazie a tutti
IngegnerCane
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Re: Domini a ideali principali

Messaggioda IngegnerCane » 08/05/2020, 08:12

ok allora: $(a,0)(a,0)=(aa',0)$
se $(aa',0)=(0,0) rArr aa'=0$ ma questo è possibile solo se $a=0 vv a'=0$ in quanto $a,a' in A$ che è un dominio e quindi non ha divisori di zero.

intendevi in questo modo?
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Re: Domini a ideali principali

Messaggioda IngegnerCane » 09/05/2020, 08:56

Ok, e se A e B fossero a ideali principali varrebbe lo stesso?

Grazie mille
IngegnerCane
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Re: Domini a ideali principali

Messaggioda IngegnerCane » 09/05/2020, 14:51

Perdonami esprimo meglio quello che intendevo:
A e B anelli commutativi unitari (non domini) a ideali principali $Leftrightarrow$ A x B è un anello commutativo unitario a ideali principali?
IngegnerCane
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