Vorrei chiedere un chiarimento su un esercizio che di per se non dovrebbe essere particolarmente complesso, ma che mette alla luce delle mie perplessità teoriche.
Sia $H \leq Sym(4). H=<(2,3,4),(1,2)(3,4)>$. Determinare l’ordine del sottogruppo generato e le lunghezze delle orbite dell’azione di coniugio di $H$ su se stesso
Sia sul primo punto che sul secondo ho dei dubbi.
Nel primo, rispettivamente dalla presenza di $(2,3,4)$ e di $(1,2)(3,4)$ so che $ 3,2| |H|$. Quindi l’ordine è o $6,12$ o $24$. Solo che oltre non riesco ad andare.
Passiamo al secondo. Sicuramente ci sarà la classe della permutazione identica, che avrà lunghezza $1$. Solo che per il resto, pur sapendo che le orbite sono le classi di coniugio e che elementi che stanno nella stessa classe hanno lo stesso tipo, non so come procedere.
Ringrazio chiunque abbia voglia di aiutarmi a chiarire le idee