La struttura di un gruppo si manifesta non appena lasciamo agire l'operazione interna che lo caratterizza; pertanto, sarei portato a definire struttura di un gruppo $G$ la sua immagine in $Sym(G)$ mediante l'iniezione (di Cayley) $a \mapsto (g \mapsto ag)$.
Così però sorge un problema se vogliamo stabilire se due gruppi dello stesso ordine $G$ e $H$ "hanno la stessa struttura", poiché in generale $Sym(G)\cap Sym(H)=\emptyset$. Tuttavia, c'è un modo per ricondurre la struttura di $G$ in $Sym(H)$, dove pertanto un confronto diretto tra le due strutture è possibile in termini di uguaglianza insiemistica ("$=$"): mediante la biiezione $\varphi^{(\psi)}: Sym(G)\to Sym(H)$, $\sigma\mapsto\psi\sigma\psi^{-1}$, indotta dalla biiezione $\psi: G\to H$.
In linea con questo punto di vista, consideriamo il seguente diagramma:
![\xymatrix{G\ar[d]^{\theta}\ar[r]^{\psi} & H \ar[d]^{\tilde\theta} \\
Sym(G)\ar[r]^{\varphi^{(\psi)}} & Sym(H)}](/forum/latexrender/pictures/70546b6021adb48d827bd59fa2389e56.png "\xymatrix{G\ar[d]^{\theta}\ar[r]^{\psi} & H \ar[d]^{\tilde\theta} \\
Sym(G)\ar[r]^{\varphi^{(\psi)}} & Sym(H)}")
dove $\theta$ and $\tilde\theta$ sono le iniezioni di Cayley (apposta non parlo di "immersioni", perché in questa prospettiva non è ancora emersa la necessità di dare un nome ad un'applicazione "che preserva l'operazione"). Pertanto, poniamo la seguente:
Definizione.
Due gruppi $G$ and $H$ si dicono isomorfi se esiste una biiezione $\psi: G\to H$ tale che:
$$\varphi^{(\psi)}\theta\psi^{-1}=\tilde\theta \tag 1$$
Tale definizione significa che due gruppi sono isomorfi se esiste tra di essi una biiezione che consente di "trasportare" la struttura di uno esattamente sulla struttura dell'altro (diciamo in $Sym(H)$, ma sostituendo $\psi$ con $\psi^{-1}$ e $\theta$ con $\tilde theta$ si potrebbe scegliere $Sym(G)$ come arena per il confronto tra le due strutture). Come caratterizzazione di queste biiezioni "speciali", vale la seguente:
Proposizione.
Due gruppi $G$ e $H$ sono isomorfi se e solo se esiste una biiezione $\psi: G\to H$ tale che:
$$\psi(gg')=\psi(g)\psi(g'),\space\forall g,g'\in G\tag 2$$
Dimostrazione. Infatti:
\begin{alignat*}{1}
&(1) \iff \\
&((\varphi^{(\psi)}\theta\psi^{-1})(h))(h')=(\tilde\theta(h))(h'), \space\forall h,h'\in H \iff \\
&(\varphi^{(\psi)}(\theta(\psi^{-1}(h))(h')=hh', \space\forall h,h'\in H \iff \\
&(\psi(\theta(\psi^{-1}(h)))\psi^{-1})(h')=hh', \space\forall h,h'\in H \iff \\
&\psi(\theta(\psi^{-1}(h))(\psi^{-1}(h')))=hh', \space\forall h,h'\in H \iff \\
&\psi(\psi^{-1}(h)\psi^{-1}(h'))=hh', \space\forall h,h'\in H \iff \\
&\psi(\psi^{-1}(h)\psi^{-1}(h'))=\psi(\psi^{-1}(h))\psi(\psi^{-1}(h')), \space\forall h,h'\in H \iff \\
&(2) \\
\end{alignat*}
$\square$
Pertanto, la proprietà $(2)$ caratterizza le biiezioni che rendono due gruppi isomorfi (secondo la definizione data), e quindi sono a buon diritto chiamate isomorfismi.
