Analogo moltiplicativo dell'archimedeità

[marco2132k]

Ciao. Se \( K \) è un campo archimedeo non necessariamente completo, è vero che per ogni \( x,y\in K \), con \( y>1 \), esiste un \( n \) naturale tale che \( y^n>x \)? Altrimenti, qual è un controesempio?

[marco2132k]

Siano \( x,y\in K \), con \( y>1 \). Scritto \( y \) come \( y = 1 + \upsilon \), per qualche \( \upsilon\in K \), la disuguaglianza
\[
y^n = (1 + \upsilon)^n\geqq 1 + n\upsilon>n\upsilon
\] di Bernoulli è vera per ogni naturale \( n \). L'archimedeità di \( K \) dovrebbe essere l'ultima richiesta per la tesi. \( \square \)