[Isomorfismo]Come funziona?

[AlexanderSC]

Buongiorno, oggi mi è capitato un esercizio con l'isomorfismo:
Abbiamo l'insieme degli elementi invertibili in Z_16 U(Z_16), e vogliamo sapere se è isomorfo all'insieme degli elementi invertibili in Z_24 U(Z_24), come fare?

Io sapevo che bastasse che entrambi avessero la stessa cardinalità ( cosa che ho verificato avevano), ma esce fuori che non sono isomorfi, c'é qualche condizione che mi sfugge? Potete darmi qualche dritta?

[hydro]

Ci sono diversi modi per verificare che quei due gruppi non sono isomorfi. Ovviamente per essere isomorfi avere la stessa cardinalità è condizione necessaria ma assolutamente non sufficiente.

Nel tuo caso il claim segue immediatamente dal teorema cinese del resto insieme al fatto che $(\mathbb Z/{2^n\mathbb Z})^{\times}\cong C_2\times C_{2^{n-2}}$, per $n>2$.

Un modo alternativo è questo: quanti elementi $x$ ci sono in $(\mathbb Z/{16\mathbb Z})^{\times}$ tali che $x^2=1$? Se $x\in \mathbb Z$ è tale che $16 | x^2-1$, allora necessariamente $8| x-1$ oppure $8| x+1$. Gli elementi di $(\mathbb Z/{16\mathbb Z})^{\times}$ che sono $1$ modulo $8$ sono $1,9$ mentre quelli che sono $-1$ modulo $8$ sono $7,15$. Ergo, in $(\mathbb Z/{16\mathbb Z})^{\times}$ ci sono 4 elementi il cui quadrato è 1. D'altra parte puoi verificare in modo simile che in $(\mathbb Z/{24\mathbb Z})^{\times}$ ce ne sono 8. Ne segue che i due gruppi non sono isomorfi.

[AlexanderSC]

???
Il teorema cinese del resto lo abbiamo fatto, ma solo applicato alla risoluzione di sitema di equazione ad un incognita modulo Zn.
Esce fuori che una parte degli elementi di U(Z_16) ha ordine 2, e l'altra ha ordine 4.
Siccome U(Z_24), nonostante abbia lo stesso numero di elementi, non ne abbia di ordine 4, risulta non essere isomorfo.
Quindi credo che per essere isomorfi due gruppi devono:
1) Avere lo stesso numero di elementi ( cioè stesso ordine)
2) Ogni elemento generatore ( <3> = { 3^t | 3 appartiene a U(Z_16) } per esempio) con un certo ordine t, deve avere un suo reciproco nell'altro gruppo ( (Z_24) in questo caso), cioè che abbia stesso ordine.

[hydro]

Infatti, come ti ho scritto, esistono diverse strade, e la seconda che ti ho indicato non usa il CRT. Certamente, affinchè due gruppi $G$ ed $H$ siano isomorfi, è necessario che $|G[n]|=|H[n]|$ per ogni $n$, dove $G[n]$ è il sottoinsieme degli elementi di ordine un divisore di $n$. Se $G$ ed $H$ sono finiti, questo implica in particolare che hanno la stessa cardinalità. Quello che scrivi in 2) non è molto chiaro, cosa vorrebbe dire "avere un reciproco nell'altro gruppo"?