Ciao ragazzi
Sono alle prese con una dimostrazione lasciata come esercizio. Sia f: A->B, provare che:
$ f^-1 (B^c)=(f^-1 (B))^c $
Questo il mio tentativo di dimostrazione:
$ x in f^-1 (B^c) hArr f(x) in B^c hArr f(x) \notin B hArr x \notin f^-1 (B) hArr x in (f^-1 (B))^c $
Mi sembra che possa andare, che dite?
Questa relazione me ne ha "ispirate" altre due, però non ho trovato riscontri in merito:
1) $ f^-1 (\bigcap_{j=0}^nB_j^c)=(\bigcup_{j=0}^n f^-1(B_j))^c $
DIM: $ x in f^-1 (\bigcap_{j=0}^nB_j^c) hArr f(x) in \bigcap_{j=0}^nB_j^c hArr f(x) in (\bigcup_{j=0}^nB_j)^c hArr f(x) notin \bigcup_{j=0}^nB_j hArr forall j : f(x) notin B_j hArr forall j : x notin f^-1(B_j) hArr x notin \bigcup_{j=0}^n f^-1(B_j) hArr x in (\bigcup_{j=0}^n f^-1(B_j))^c $
2) $ f^-1 (\bigcup_{j=0}^nB_j^c)=(\bigcap_{j=0}^n f^-1(B_j))^c $
DIM: $ x in f^-1 (\bigcup_{j=0}^nB_j^c) hArr f(x) in \bigcup_{j=0}^nB_j^c hArr f(x) in (\bigcap_{j=0}^nB_j)^c hArr f(x) notin \bigcap_{j=0}^nB_j hArr EE j : f(x) notin B_j hArr EE j : x notin f^-1(B_j) hArr x notin \bigcap_{j=0}^n f^-1(B_j) hArr x in (\bigcap_{j=0}^n f^-1(B_j))^c $