Dominio a fattorizzazione unica

[3m0o]

Allora ho trovato due diverse definizioni di dominio a fattorizzazione unica, quella su cui si basa il mio prof che è la seguente
Un dominio d'integrità \(A\) è detto dominio a fattorizzazione unica se per ogni elemento non nullo \(a \in A \) esso si può e scrivere come \( a = u \cdot p_1 \cdot \ldots \cdot p_n \) dove \( u \in A^{\times} \), \(n \in \mathbb{N}\) e \( p_i \) è irriducibile per ogni \(1 \leq i \leq n \).
Inoltre questa fattorizzazione è essenzialmente unica nel senso che se \( a= v \cdot q_1 \cdot \ldots \cdots q_m \) allora \(n=m\) ed esiste \( \sigma \in S_n \) tale che \(p_i \) e \( q_{\sigma(i)}\) sono associati.

Mentre ho trovato su wikipedia un'altra definizione dove richiede che \(a \in A \) non nullo e non invertibile ammette la fattorizzazione \( a = p_1 \cdot \ldots \cdot p_n \).
Il resto uguale.
E non mi sembrano equivalenti queste due definizioni. Con la prima definizione chiaramente siccome \(u \) è un'unità abbiamo che \( u^{-1}a=p_1 \cdot \ldots \cdot p_n \) ma siccome pure \( a \) è invertibile abbiamo che \(u^{-1} a \) è invertibile con inversa \(a^{-1} u \), cosa non specificata nella definizione di wikipedia.

Inoltre partendo dalla seconda definizione con \(a \) non invertibile se moltiplichiamo per \(u \) invertibile otteniamo \( au = u \cdot p_1 \cdot \ldots \cdot p_n \). Mi domando dunque è sempre possibile per ogni \( x \in A \) non nullo scriverlo come \(x=ua \) con \(a \) non invertibile e \(u \) invertibile ?
Penso di no, se prendiamo \(x \) riducibile, allora sia \( u\) che \(a \) non sono invertibili. Quindi o non esistono elementi riducibili in un domino a fattorizzazione unica, cosa che mi sembra assurda, oppure le due definizioni non sono equivalenti oppure ancora sto sbagliando qualcosa.

[hydro]

Entrambe le definizioni sono corrette, a patto che nella prima si usi la convenzione che quando $n=0$ non ci sono fattori irriducibili nella scrittura di $a$ (ed è una convenzione che si usa molto spesso).

Mi domando dunque è sempre possibile per ogni \( x \in A \) non nullo scriverlo come \(x=ua \) con \(a \) non invertibile e \(u \) invertibile ?

Decisamente no. Nessun elemento invertibile può essere scritto come prodotto di un invertibile ed un non-invertibile.

[3m0o]

Decisamente no. Nessun elemento invertibile può essere scritto come prodotto di un invertibile ed un non-invertibile.

E questo non contraddice l'equivalenza delle due definizioni?
Sono d'accordo anche io che è no la risposta alla mia domanda, ma allora quelle due definizioni a priori differiscono, e potrei avere un anello \(A \) che è dominio a fattorizzazione unica in un senso e non nell'altro.

[hydro]

Decisamente no. Nessun elemento invertibile può essere scritto come prodotto di un invertibile ed un non-invertibile.

E questo non contraddice l'equivalenza delle due definizioni?
Sono d'accordo anche io che è no la risposta alla mia domanda, ma allora quelle due definizioni a priori differiscono, e potrei avere un anello \(A \) che è dominio a fattorizzazione unica in un senso e non nell'altro.

La prima si legge come "ogni elemento non nullo si scrive come prodotto di un invertibile e di un numero $\geq 0$ di irriducibili, in maniera essenzialmente unica". La seconda si legge come "Ogni elemento non nullo e non invertibile si scrive come prodotto di invertibili, in maniera essenzialmente unica". E' chiaro che le due definizioni sono equivalenti: nessuna delle due dà alcuna informazione sulla scrittura degli invertibili.

[3m0o]

La prima si legge come "ogni elemento non nullo si scrive come prodotto di un invertibile e di un numero $\geq 0$ di irriducibili, in maniera essenzialmente unica". La seconda si legge come "Ogni elemento non nullo e non invertibile si scrive come prodotto di invertibili, in maniera essenzialmente unica". E' chiaro che le due definizioni sono equivalenti: nessuna delle due dà alcuna informazione sulla scrittura degli invertibili.

La seconda scusami ma si legge
"Ogni elemento non nullo e non invertibile si scrive come prodotto di irriducibili, in maniera essenzialmente unica".

E ora ho capito il perché sono equivalenti, il motivo è che se un elemento è invertibile \(a = a \) è la sua fattorizzazione. Io pensavo che \( a= u p_1 \cdot p_n \) è la sua fattorizzazione con \(n \) non necessariamente, anche nel caso di \(a\) invertibile, uguale a \(0\).

[hydro]

La prima si legge come "ogni elemento non nullo si scrive come prodotto di un invertibile e di un numero $\geq 0$ di irriducibili, in maniera essenzialmente unica". La seconda si legge come "Ogni elemento non nullo e non invertibile si scrive come prodotto di invertibili, in maniera essenzialmente unica". E' chiaro che le due definizioni sono equivalenti: nessuna delle due dà alcuna informazione sulla scrittura degli invertibili.

La seconda scusami ma si legge
"Ogni elemento non nullo e non invertibile si scrive come prodotto di irriducibili, in maniera essenzialmente unica".

Sì scusami certo ho scritto invertibili invece che irriducibili.

E ora ho capito il perché sono equivalenti, il motivo è che se un elemento è invertibile \(a = a \) è la sua fattorizzazione. Io pensavo che \( a= u p_1 \cdot p_n \) è la sua fattorizzazione con \(n \) non necessariamente, anche nel caso di \(a\) invertibile, uguale a \(0\).

Quando $a$ è invertibile $n$ è necessariamente $0$, per il motivo di cui sopra. Comunque sono dettagli poco interessanti, il punto è semplicemente che non ci si interessa di cosa succede agli elementi invertibili dal punto di vista della fattorizzazione. Ci sono tante altre domande interessanti a riguardo, per esempio quale sia la struttura del gruppo degli elementi invertibili.

[3m0o]

La domanda mi era sorta in quanto risolvendo questo esercizio mi era venuto un dubbio

Dimostra che tutti gli anelli principali sono fattoriali.

Per l'esistenza della fattorizzazione:
Supponiamo che esista un \( a \in A \) tale che non ammetta fattorizzazione \(u \prod_{i=1}^{r} p_i \), dove \(u \in A^{\times} \) e \( p_i \) irriducibili. Allora \(a \not\in A^{\times} \) e \(a \) non è irriducibile altrimenti \(a=a \) sarebbe una fattorizzazione. Dunque \( a= a_1 b_1 \) dove \(a_1,b_1 \not\in A^{\times} \) inoltre abbiamo che \(a_1 \) oppure \(b_1 \) non ammette una decomposizione in prodotti irriducibili. Per commutatività dell'anello possiamo supporre senza ledere a generalità che sia \(a_1 \).
Dunque \(a_1=a_2 b_2 \) dove \(a_1,b_1 \not\in A^{\times} \) inoltre abbiamo che \(a_1 \) oppure \(b_1 \) non ammette una decomposizione in prodotti irriducibili. Procediamo induttivamente e otteniamo che
\( a_n = a_{n+1} b_{n+1} \) dove \(a_{n+1},b_{n+1} \not\in A^{\times} \)
Dunque abbiamo riscritto
\[ a = a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2 \cdot b_1 = a_3 \cdot b_3 \cdot b_2 \cdot b_1 = \ldots \]
Dunque siccome "dividere = contenere" abbiamo la seguente catena di inclusioni
\[ (a) \subset (a_1) \subset (a_2) \subset \ldots \subset (a_n) \subset \ldots \]
Inoltre poiché \(b_n \not\in A^{\times} \) allora \(a_n \) e \( a_{n+1} \) non sono associati ma abbiamo allora che è una catena di ideali di \(A \) che non si stabilizza, contraddizione! Poiché Tutti gli anelli principali sono anche anelli noetheriani.

Unicità essenziale:
Sia \(a = u \prod_{i=1}^{r} p_i \) e \(a = v \prod_{j=1}^{s} q_j \) due fattorizzazioni. Voglio dimostrare che \(r=s \) e che i \(p_i \) sono associati ai \(q_j\) due a due. Sia senza perdita di generalità \(r < s \).

--->Il mio dubbio è con il passo base nel senso che non so come fare partendo da \(r=1\) usando la seconda definizione. In tutta la dimostrazione ho usato chiaramente la definizione su cui si basa il mio prof. <----

Con \(r=0 \) abbiamo che \(a=u \in A^{\times} \) e \(a=v \prod_{j=1}^{s} q_j \)
\[ 1_A = u^{-1} v \prod_{j=1}^{s} q_j \]
dunque se \( s \geq 1 \) abbiamo che \(q_s \in A^{\times} \) contraddizione poiché è irriducibile!
Dunque \( s=0\), ed in questo caso abbiamo proprio l'unicità!

con \(r \geq 1 \)
\[ a = u \prod_{i=1}^{r} p_i = v \prod_{j=1}^{s} q_j \], se \( s \geq r \) abbiamo che \(q_1 \) è irreducibile e \(q_1 \mid a \) allora \(q_1 \mid p_1 u \prod_{i=2}^{r} p_i \). Dunque abbiamo che \(q_1 \mid p_1 \) oppure \(q_1 \mid u \prod_{i=2}^{r} p_i \) siccome \( (q_1) \) è primo. Nel primo caso allora \(p_1 \) è associato a \(q_1 \) siccome \(q_1\) irriducibile. Altrimenti nel secondo caso per ricorrenza troviamo un indice \( 2 \leq i \leq r \) tale che \(q_1 \mid p_i \), in entrambi i casi troviamo un \(p_i \) associato a \(q_1 \), per commutatività dell'anello diciamo che è \(p_1\).

Allora \(q_1 = wp_1\) e \(a=u \prod_{i=1}^{r} p_i = v w p_1 \prod_{j=2}^{s} q_j \), semplifichiamo dunque per \(p_1 \) e lo possiamo fare poiché un anello principale è un dominio d'integrità. Allora abbiamo che
\[ u \prod_{i=2}^{r} p_i = v w \prod_{j=2}^{s} q_j \]
e ci siamo ridotti a \(r-1\) e concludiamo per ipotesi di ricorrenza che \(r=s\) e che \(q_j \) sono associati 2 a 2 ai \(p_i \) per \( 2 \leq j \leq r \) e \( 2 \leq i \leq r \). Inoltre poiché \(p_1 \) è associato a \(q_1 \) concludiamo!