Teorema di Gauss, polinomi irriducibili

Messaggioda 3m0o » 09/06/2020, 02:57

Avrei una domanda per una direzione (la seconda) della dimostrazione del seguente teorema di Gauss
Sia \(A\) un anello fattoriale e \(f \in A[t] \) un polinomio primitivo. Allora \(f \) è irriducibile in \(A[t]\) se e solo se è irriducibile in \(K[t] \), dove \(K \) è il corpo (field in inglese) delle frazioni di \(A\).

Dimostrazione:
\( \Leftarrow \):
Se \(f \) non è irriducibile in \(A[t] \) allora possiamo scrivere \(f=g h \) dove sia \(g \) che \(h \) non sono invertibili. Ma siccome \(f \) è primitivo allora \(g\) e \(h\) non sono delle costanti, dunque sia \(g\) che \(h\) non sono invertibili come polinomi in \(K [t]\) poiché \(K[t]^{\times} = K^{\times} \).
Pertanto \(f\) non è irriducibile in \(K[t]\).

\(\Rightarrow \):
Sia \(f \in A[t] \) irriducibile e supponiamo che \( f=gh\) con \(g,h \in K[t]\). Dobbiamo dimostrare che \(g\) oppure \(h\) è una costante non nulla invertibile.
Scriviamo \(g = c \cdot g_0 \) e \(h = d \cdot h_0 \), con \(c=\operatorname{cont}(g)\in K\), \(g_0 \in A[t] \) e primitivo e \(d=\operatorname{cont}(h)\in K\), \(h_0 \in A[t] \) e primitivo.

Allora abbiamo per il lemma di Gauss che \(g_0 h_0 \) è primitivo in \(A[t] \) e inoltre risulta \( f= cd \cdot (g_0h_0) \)

A questo punto il prof fa questo commento nel video (si insegnamento a distanza e ci mette a disposizione i video su una piattaforma, dunque non ho potuto fargli la domanda perché non sono in diretta). Onestamente non capisco il suo commento
"Ma \(cd\) a priori è un prodotto di due elementi in \(K\) ed è \(\operatorname{cont}(gh)\) ma non sappiamo ancora se è un elemento di \(A\) che è uguale al contenuto di \(f\) ed è quello che andiamo a dimostrare"

Io direi che se \(f=gh = cd \cdot g_0h_0 \) allora per forza abbiamo che \(cd = \operatorname{cont}(f)=\operatorname{cont}(gh)\). E se non lo è allora qual'è il contenuto di \(f \) ?

Abbiamo che \(cd = \frac{a}{b} \in K \) con \(a,b \neq 0 \). Allora \(b \cdot f=a \cdot g_0h_0 \) in \(A[t] \), siccome \(f \) e \(g_0 h_0 \) sono primitivi allora \(b\) ed \(a\) differiscono di un invertibile in \(A\), poiché sono il contenuto di uno stesso polinomio. Sia dunque \(u \in A^{\times} \) e \(a=b u \Leftrightarrow \frac{a}{b}=u \in A^{\times} \).
Per conseguenza abbiamo che
\[f=cd \cdot g_0 h_0 = u \cdot g_0 h_0 \]
Ma \(f\) è irriducibile dunque \(g_0 \) oppure \(h_0\) è un polinomio costante invertibile in \(A[t] \), i.e. costante di \(A^{\times} \), diciamo che è \(g_0\) allora
\[ g = c \cdot g_0 \in K^{\times} \]
dunque \(f \) è irriducibile anche in \(K[t]\).
3m0o
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