Gruppo di Galois

[francicko]

Un polinomio di terzo grado irriducibile in $Q$ ha sempre $S_3$ come gruppo di Galois?

[hydro]

No, ma il gruppo di Galois può essere solamente $S_3$ o $C_3$. Il primo caso si ha se e solo se il discriminante del polinomio non è un quadrato in $\mathbb Q$.

[francicko]

Grazie per la risposta! Mi puoi riportare un esempio in cui il gruppo di Galois di un polinomio di terzo grado risulta $C_3$?

[hydro]

Ne puoi trovare semplicemente scrivendoti il discriminante di un polinomio generico $x^3+ax+b$, che è un polinomio in $a,b$, ed imponendolo uguale ad un quadrato. Con qualche tentativo dovresti trovare più di un esempio (devi controllare che ti esca un polinomio irriducibile ovviamente).

Invece se giustamente non vuoi fare tentativi noiosi, puoi ragionare così: sia $\zeta$ una radice primitiva settima dell'unità. Allora $[\mathbb Q(\zeta):\mathbb Q]=6$, e il suo gruppo di Galois è $C_6$. Ma allora il sottocampo fissato dall'unico sottogruppo di indice 2 è ciclico di grado 3. Essendo il coniugio complesso un elemento non triviale del gruppo di Galois dell'estensione, questo sottocampo fissato è quello fissato dal coniugio complesso. Ma non è difficile far vedere che questo è proprio $\mathbb Q(\zeta+\zeta^{-1})$. Adesso devi solo calcolare un polinomio di grado $3$ a coefficienti in $\mathbb Q$ soddisfatto da $\zeta+zeta^{-1}$ (addirittura li avrà in $\mathbb Z$ perchè $\zeta+\zeta^{-1}$ è un intero algebrico). Ti consiglio di provare a calcolarlo per esercizio: questo sarà un polinomio con gruppo di Galois $C_3$. Nota che non è necessaria alcuna nozione di teoria di Galois: ti basta usare il fatto che $\zeta^7=1$.

[francicko]

Un esempio può essere il polinomio $x^3+x^2-2x-1$,essendo $Delta=49>0$un quadrato perfetto,si avrà $delta=(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)=sqrt(49)=7$ $in$ $Q$,quindi il polinomio essendo irriducibile in $Q$ ha esattamente tre radici reali, che permutate devono far rimanere invarianti tutte le relazioni delle radici in $Q$, in questo caso oltre alle funzioni simmetriche, devono soddisfare anche $delta$, pertanto il gruppo di Galois si riduce al gruppo $C_3$ mi sbaglio?

[hydro]

Esattamente. In generale, è facile vedere che il discriminante di un polinomio di grado $n$ è un quadrato se e solo se il gruppo di Galois è contenuto in $A_n$.

[francicko]

Grazie tanto hydro, sei stato chiarissimo!

[francicko]

Sto cercando di comprendere la teoria di Galois ed onestamente incontro notevoli difficoltà nell'apprendimento,lo faccio da autodidatta, pertanto avere delle risposte chiare mi aiuta a procedere verso la metà a piccoli passi.
Se ad esempio avessi un polinomio di grado $5$ in cui il $Delta$ risulti un quadrato perfetto e quindi $delta$ $in$ $Q$, il suo gruppo di Galois si riduce ad essere $C_5$, e quindi risolubile?

[hydro]

No. Come dicevo sopra, se il discriminante è un quadrato allora il gruppo di Galois è contenuto in $A_n$. Nota che $A_5$ non è il gruppo ciclico di ordine 5, questo succede solo per $A_3$ che è $C_3$. E $A_5$ non è risolubile (come non lo è $A_n$ per $n>5$). Credo si possa dimostrare senza troppe difficoltà che il 100% dei polinomi di grado $n$ il cui discriminante è un quadrato hanno gruppo di Galois $A_n$.

La prova del fatto che il discriminante è un quadrato se e solo se il gruppo di Galois è dentro ad $A_n$ è la seguente: sia $f\in K[x]$ un polinomio di grado $n$, gruppo di Galois $G$ e discriminante $\Delta$. Scrivi $\sqrt{\Delta}=\prod_{i<j}(\alpha_i-\alpha_j)$ con gli $\alpha_i$ radici di $f$. Adesso prendi $\sigma\in G\leq S_n$. Chiaramente $\sigma(\sqrt{\Delta})=\pm\sqrt{\Delta}$. Come si sceglie il segno? Supponi che $\sigma$ sia uno scambio, ovvero una permutazione della forma $(k,l)$ per qualche $k<\l\in\{1,\ldots,n\}$. Se ci rifletti un po', guardando a come è fatta $\sqrt{\Delta}$, ti accorgerai che $\sigma(\sqrt{\Delta})=-\sqrt{\Delta}$. D'altronde ogni permutazione è un prodotto di scambi. Quindi $\sigma\in S_n$ è tale che $\sigma(\sqrt{\Delta})=\sqrt{\Delta}$ se e solo se $\sigma$ è prodotto di un numero pari di scambi, ovvero se e solo se $\sigma\in A_n$. Ne segue immediatamente che $\sqrt{\Delta}\in K$, ovvero $\Delta$ è un quadrato, se e solo se $G\leq A_n$.

[francicko]

Ok, il gruppo $A_3$ risulta ciclico di ordine $3=(3!) /2$ solo per $n=3$, nel caso specifico del nostro polinomio $x^3+x^2 - 2x-1$ essendo il gruppo di Galois ciclico di ordine primo, quindi non avente sottogruppi propri, per il teorema di corrispondenza, in conseguenza, non dovremmo avere intercampi, al di fuori del campo base $Q$, ed il campo di spezzamento $Q(x_1,x_2,x_3)$, pertanto ad esempio l'estensione $Q(x_1)$ dovrebbe coincidere con l'intero campo di spezzamento, mi sbaglio?