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Non c'è bisogno di fare appello al teorema di corrispondenza. Il gruppo di Galois di un polinomio è per definizione il gruppo di Galois del suo campo di spezzamento. Come ti ho dimostrato sopra, il discriminante è un quadrato se e solo se il gruppo di Galois è in $A_n$. Gli unici sottogruppi di $A_3$ sono $A_3$ e il gruppo banale, ergo un polinomio di grado 3 irriducibile con discriminante quadrato ha gruppo di Galois $A_3$, ed essendo di grado 3 una radice qualsiasi genera il suo campo di spezzamento.