Aggiunzione di una radice, estensione algebrica dei campi.

[3m0o]

Non capisco questo esempio in relazione alla proposizione seguente
Sia \(f \in K[t] \) irriducibile allora \(E= K[t]/(f) \) è un estensione di \(K\) che contiene una radice \( \alpha \) di \(f \).

Esempio. Sia \(K= \mathbb{F}_3\).
Abbiamo che in \( \mathbb{F}_3[t] \) vi sono
- 3 polinomi irriducibili unitari di grado 1 della forma \( t-a \) con \(a=0,1,2\).
- 9 polinomi unitari di grado 2 della forma \(t^2+at+ b \), sei sono della forma \((t-a)(t-b) \) che sono riducibili, restano dunque restano 3 polinomi della forma irriducibili, \(t^2+1\),\(t^2+t-1\) e \(t^2-t-1\)
- 27 polinomi unitari di grado 3, di cui 10 della forma \((t-a)(t-b)(t-c) \), 9 della forma \((t-a)(t^2+bt+c) \) dove \(t^2+bt+c\) è irriducibile di grado 2 e ne restano pertanto 8 irriducibili. Scegliamone uno, \(f(t)=t^3-t+1\).
Verifichiamo che è irriducibile \(f(0)=f(1)=f(2)=1\), dunque non ammette radici ed è irriducibile.
Poniamo \( E = \mathbb{F}_3[t] / (t^3-t+1) \) e poiché \( \operatorname{deg}(f) = 3 \) abbiamo che \( [E:\mathbb{F}_3]=3 \) dunque è un estensione di \( \mathbb{F}_3 \) di grado 3 e contiene \(27 \) elementi.
Tra questi elementi possiamo trovare una radice \(\alpha := \bar{t} = t + (f) \in E \) di \(f \) visto come \( f(t) \in E[t] \).
Poiché \( f(\bar{t} ) = \overline{t}^3 - \overline{t} +1 = \overline{t^3-t+1} = \overline{f} = 0 \) poiché \(E=\mathbb{F}_3[\alpha] \)

I punti che non capisco sono i seguenti:
1) Come fa \(E \) ad essere un estensione di \(\mathbb{F}_3 \) non dovrebbe essere un estensione di \( \mathbb{F}_3[t] \) ?
2) \(f(t) \) come fa ad essere visto come \( f(t) \in E[t] \) i coefficienti di \(f(t) \in \mathbb{F}_3[t] \) vivono in \( \mathbb{F}_3 \) mentre i coefficienti di \( f(t) \in E[t] \) vivono in \(E\) che è un insieme di classi di equivalenze di polinomi quindi i coefficienti di \(f(t) \in E[t] \) sono polinomi a coefficienti di \( \mathbb{F}_3\) quozientati per l'ideale \( (t^3-t+1) \).
3) Capisco che \( \overline{f}=0 \) poiché appartiene all'ideale \((f)\) ma mi sembra strano che una classe di equivalenza di polinomi possa essere una radice di \(f\).
4) Inoltre prima mi dice che \( E =\mathbb{F}_3[t] / (t^3-t+1) \) poi mi dice che \(E=\mathbb{F}_3[\alpha] \) e non capisco.

[hydro]

1)Un campo $L$ è un'estensione di un campo $K$ se $K$ è un sottocampo di $L$. Nel tuo caso, $\mathbb F_3$ è un sottocampo di $E$? Certamente, perchè $\mathbb F_3$ è un sottocampo di $\mathbb F_3[t]$, e la sua immagine nel quoziente ${\mathbb F_3[t]}/{(f(t))}$ è di nuovo isomorfa a $\mathbb F_3$. Dire che $E$ è un'estensione di $\mathbb F_3[t]$ è sbagliato anche formalmente, visto che $\mathbb F_3[t]$ non è un campo, e soprattutto $E$ è finito mentre $\mathbb F_3[t]$ è infinito, quindi come può $E$ contenere $\mathbb F_3[t]$?

2) Dal punto sopra, $E$ contiene $\mathbb F_3$ come sottocampo, quindi vedere $f(t)$ come elemento di $E[t]$ ha perfettamente senso (magari non è il massimo usare $t$ di nuovo come lettera per la variabile). E' vero che gli elementi di $E$ sono classi di equivalenza di polinomi, ma il punto fondamentale è che esistono anche i polinomi costanti, che altro non sono che gli elementi di $\mathbb F_3$, e l'insieme delle loro classi di equivalenza in $E$ è un campo canonicamente isomorfo a $\mathbb F_3$. Se vuoi si sta facendo un leggero abuso di notazione, perchè si sta identificando $\mathbb F_3$ con la sua immagine isomorfa dentro $E$, ma il significato è chiaro.

3) Ti sembra strano, però è così. $E$ è un campo perchè $f$ è irriducibile, ed $E$ contiene $\mathbb F_3$, quindi è legittimo pensare ad $f$ come ad un elemento di $E[t]$. D'altronde, la classe di equivalenza $\bar{t}$ di $t$ dentro ad $E$ tramite la mappa quoziente $\mathbb F_3[t]\to E$ ha la proprietà che $f(\bar{t})=0$, dal momento che $f$ mappa a zero nel quoziente. Il significato della scrittura $f(\bar{t})$ è chiaro: sto vedendo $f$ come un elemento di $E[t]$ e lo sto valutando in $\bar{t}$, che è un elemento di $E$. E' la stessa cosa che succede quando si costruisce $\mathbb C$ come ${\mathbb R[t]}/{(t^2+1)}$. Solo che lì chiamiamo $i$ la classe di equivalenza di $t$ nel quoziente.

4) E' la stessa cosa. $E={\mathbb F_3[t]}/{(f)}$ per definizione. L'anello $\mathbb F_3[\alpha]$ (qui $\alpha=\bar{t}$) è per definizione l'insieme di tutte le espressioni della forma $\sum_{i=0}^nc_i\alpha^i$, dove i $c_i$ stanno in $\mathbb F_3$. E' un esercizio che ti consiglio di provare a fare, il dimostrare che in realtà $\mathbb F_3[\alpha]=\{c_0+c_1\alpha+c_2\alpha^2: c_0,c_1,c_2\in\mathbb F_3\}$ (hint: nota che $\alpha^3=\alpha-1$), e questo anello è isomorfo a ${\mathbb F_3[t]}/{(f)}$.

[3m0o]

Ho capito, mi è chiaro che \( \mathbb{F}_3 \) è sottocampo di \(E\), mentre \(E \) non è estensione di \(\mathbb{F}_3[t] \). Ma la radice non mi è molto chiara.

Facciamo un esempio più semplice, prendiamo \( \mathbb{F}_2 = \{ 0 ,1 \} \) e consideriamo \( f(t):= t^2+t+1 \in \mathbb{F}_2[t] \) che è irriducibile, infatti \( f(0)=f(1)=1 \).
Ora \( \mathbb{F}_2[t]/(f) = \{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{t}, \overline{t+1} \} = \mathbb{F}_4 \). E possiamo trovare una parte di \( \mathbb{F}_4 \) che è isomorfa a \( \mathbb{F}_2 \). Va bene!
In \( \mathbb{F}_4[s] \) lo vedo come \(f(s) = \overline{1} \cdot s^2 + \overline{1} \cdot s + \overline{1} \). Ma ad esempio posso avere anche il polinomio \(g(s)= \overline{t} s^2 + \overline{t+1} s + 1 \). Che valutato in \(g(\overline{t})= \overline{t} \overline{t}^2 + \overline{t+1} \overline{t} + 1 = \overline{t^3} + \overline{t^2+t} + 1 = \overline{t^3} + \overline{f(t)} = \overline{t^3} \) e dunque
\[g(\overline{t})= \overline{t^3} = \overline{t t^2} = \overline{t(t+1)} = \overline{t^2 + t} = - \overline{1} = \overline{1} \]

Ora abbiamo che \( \overline{t} \) è soluzione di \(f(s) \in \mathbb{F}_4[s] \). Infatti
\[ f(\overline{t})=\overline{t}^2 + \overline{t} + 1 = \overline{t^2+t+1} = \overline{0} + (f) = \overline{0} \]

Ad esempio la classe \( \overline{t} \) contiene anche il polinomio \( t^2+1 \) poiché \( t^2 + 1 = t^2 + t + t +1 = t + f(t) \), giusto? Cambiandogli il rappresentante e avendo che in \( \mathbb{F}_4 \) risulta essere che \( \overline{t^2} = \overline{t+1} \) abbiamo che
\[ f(\overline{t^2+1 })=\overline{(t^2+1 )}^2 + \overline{t^2+1} + 1 = (\overline{t^2} + 1)^2 + \overline{t^2} + 1 + 1 = (\overline{t+1} +1)^2 + \overline{t+1} = \overline{t^2 + t +1} = \overline{0} \]

Però non avere senso "valutare" \( f(t) \), visto in \( \mathbb{F}_2 [t]\), con un polinomio che appartiene alla classe di equivalenza di \( \overline{t} \). Giusto? Cioè ad esempio
\[ f(t^2+1)= (t^2+1)^2 + t^2 + 1 +1 = t^4 + 2t + 1 + t^2 = t^4 + t^2 +1 \]
ottengo informazioni, oltre al sapere che \(f(t^2+1) \in \overline{0} \in \mathbb{F}_4 \), sul polinomio \(t^4+t^2+1 \) visto in \( \mathbb{F}_2[t] \) ?
Formalmente le indeterminate di \( f(s) \in \mathbb{F}_4[s] \) e di \(f(t) \in \mathbb{F}_2[t] \) sono differenti oppure possono essere la stessa? Perché trovare zero valutando un polinomio con una classe di polinomi mi sembra strano nel fatto che mi sembra quasi che sto dicendo che valutare il polinomio \(f\) nella classe di equivalenza dell' indeterminata \(t\) mi da zero...

[hydro]

Perché trovare zero valutando un polinomio con una classe di polinomi mi sembra strano nel fatto che mi sembra quasi che sto dicendo che valutare il polinomio \(f\) nella classe di equivalenza dell' indeterminata \(t\) mi da zero...

E' esattamente questo il punto. Devi solo definire cosa vuol dire "valutare il polinomio $f$ nella classe di equivalenza di $t$". E questo vuol dire la seguente cosa: se $K$ è un campo e $f(t)\in K[t]$ ha grado $\geq 1$, allora $E:={K[t]}/{(f(t))}$ contiene un sottoanello isomorfo a $K$. Questo succede perchè se chiami $\pi$ la proiezione canonica $K[t]\to E$, allora $\pi$ ristretta a $K$ è un isomorfismo sull'immagine; questa affermazione è equivalente a dire che l'ideale generato da $f$ non contiene costanti, il che è vero quando $\deg f\geq 1$. Ne segue che qualsiasi polinomio in $K[t]$ vive anche in $E[s]$ in maniera naturale. Formalmente, questo significa che esiste un monomorfismo $\varphi:K[t]\to E[s]$ che prende $g(t)$ e lo manda in $g(s)$: sostituisco la variabile $t$ con la variabile $s$ e i coefficienti di $g$ con la loro immagine in $E$ tramite $\pi$. Ne consegue che valutare $f$ in $\pi(t)=\bar{t}$ ha perfettamente senso: significa valutare $\varphi(f)$, che è un elemento di $E[s]$, in $\bar{t}$, che è un elemento di $E$.