Non capisco questo esempio in relazione alla proposizione seguente
Sia \(f \in K[t] \) irriducibile allora \(E= K[t]/(f) \) è un estensione di \(K\) che contiene una radice \( \alpha \) di \(f \).
Esempio. Sia \(K= \mathbb{F}_3\).
Abbiamo che in \( \mathbb{F}_3[t] \) vi sono
- 3 polinomi irriducibili unitari di grado 1 della forma \( t-a \) con \(a=0,1,2\).
- 9 polinomi unitari di grado 2 della forma \(t^2+at+ b \), sei sono della forma \((t-a)(t-b) \) che sono riducibili, restano dunque restano 3 polinomi della forma irriducibili, \(t^2+1\),\(t^2+t-1\) e \(t^2-t-1\)
- 27 polinomi unitari di grado 3, di cui 10 della forma \((t-a)(t-b)(t-c) \), 9 della forma \((t-a)(t^2+bt+c) \) dove \(t^2+bt+c\) è irriducibile di grado 2 e ne restano pertanto 8 irriducibili. Scegliamone uno, \(f(t)=t^3-t+1\).
Verifichiamo che è irriducibile \(f(0)=f(1)=f(2)=1\), dunque non ammette radici ed è irriducibile.
Poniamo \( E = \mathbb{F}_3[t] / (t^3-t+1) \) e poiché \( \operatorname{deg}(f) = 3 \) abbiamo che \( [E:\mathbb{F}_3]=3 \) dunque è un estensione di \( \mathbb{F}_3 \) di grado 3 e contiene \(27 \) elementi.
Tra questi elementi possiamo trovare una radice \(\alpha := \bar{t} = t + (f) \in E \) di \(f \) visto come \( f(t) \in E[t] \).
Poiché \( f(\bar{t} ) = \overline{t}^3 - \overline{t} +1 = \overline{t^3-t+1} = \overline{f} = 0 \) poiché \(E=\mathbb{F}_3[\alpha] \)
I punti che non capisco sono i seguenti:
1) Come fa \(E \) ad essere un estensione di \(\mathbb{F}_3 \) non dovrebbe essere un estensione di \( \mathbb{F}_3[t] \) ?
2) \(f(t) \) come fa ad essere visto come \( f(t) \in E[t] \) i coefficienti di \(f(t) \in \mathbb{F}_3[t] \) vivono in \( \mathbb{F}_3 \) mentre i coefficienti di \( f(t) \in E[t] \) vivono in \(E\) che è un insieme di classi di equivalenze di polinomi quindi i coefficienti di \(f(t) \in E[t] \) sono polinomi a coefficienti di \( \mathbb{F}_3\) quozientati per l'ideale \( (t^3-t+1) \).
3) Capisco che \( \overline{f}=0 \) poiché appartiene all'ideale \((f)\) ma mi sembra strano che una classe di equivalenza di polinomi possa essere una radice di \(f\).
4) Inoltre prima mi dice che \( E =\mathbb{F}_3[t] / (t^3-t+1) \) poi mi dice che \(E=\mathbb{F}_3[\alpha] \) e non capisco.