Buonasera,
Alcuni autori la danno per definizione altri come una proposizione, quindi nel dubbio la dimostra
Sia $S ne emptyset$ e $Xne emptyset\,\ X subseteq S.$
Se $"inf"X in X leftrightarrow minX="inf"X$
Posto $y="inf"X in X$
Quindi, $y in X$ per definizione di estremo superiore si ha:
a) $y le x\,\ forall x in X,$
b)$forall b in S : b>y\,\ exists x in X \:\ xnotgeb,$
in particolare dalla a) risulta
$y le x\,\ forall x in X, y in X leftrightarrow minX=y leftrightarrow minX="inf"X$
Invece, $minX="inf"X$, per definizione minimo si ha $"inf"X in X$
Ciao.