Minimali, minimi, minoranti...

[gigi1010]

Salve a tutti, mi sto esercitando in vista di un esame e chiedo aiuto a voi per una traccia che richiede di studiare una relazione d'ordine. Prima di postarvi l'esercizio, vorrei chiedere dei chiarimenti sulle definizioni di minimo, minimale e minorante e provare a rifarlo da solo.
Facciamo così: Sia $ (S,rho ) $ un insieme ordinato, ordine largo.
Un elemento 'a' $ in $ S è minimo se e solo se $ AA x in S (a rho x) $
Un elemento 'c' $ in $ S, è minorante per un insieme $ Asube S $ se e solo se $ AA h in A (crho h) $

Ora i dubbi li ho sul minimale, per il quale ho due definizioni, e non so quale sia la migliore per gli esercizi:
1) Un elemento 'a' $ in $ S, è minimale per S se e solo se $ neg (EE b in S| brho a) $ (non trovavo il simbolo 'non esiste')
2) Un elemento 'a' $ in $ S, è minimale per S se e solo se $ (AA y in S)(yrho a rArr y = a) $

Io non so quale applicare, cioè data una relazione generica io non riesco sempre ad usare le definizioni, potete farmi qualche esempio?

[gugo82]

Proponi tu un esempio su cui non riesci a lavorare e spiega perché/dove trovi difficoltà.

[gigi1010]

Proponi tu un esempio su cui non riesci a lavorare e spiega perché/dove trovi difficoltà.

Sia $ S = Z xx N $
e rho una relazione d'ordine cosi definita:
$ (x, y) rho (z,t) : ((x,y) = (z,t) vv x^2 + y^2 < z^2 + t^2) $
Il minimo è (0,0).
Il massimo non esiste perchè si troverà sempre un (a+1, b+1) tale che se (a,b) è il massimo risulta (a,b) rho (a+1, b+1).
Allora se c'è il minimo quello è l'unico minimale, ma per i massimali non so come procedere

[gugo82]

Beh, vedila geometricamente.

L'insieme $ZZ xx NN$ si rappresenta come una quadrettatura del semipiano $y>=0$:

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Dire che $(x,y) rho (a,b)$ [risp. $(a,b) rho (x,y)$] con $(a,b) in ZZ xx NN$ fissato vuol dire che o il punto $P=(x,y)$ coincide con $A=(a,b)$ oppure che esso è interno [risp. esterno] al cerchio di centro $O=(0,0)$ e raggio $r=sqrt(a^2+b^2)$.
Quindi, ad esempio, se $(a,b) = (4,3)$, le coppie $(x,y) in ZZ xx NN$ tali che $(x,y) rho (a,b)$ [risp. $(a,b) rho (x,y)$] sono quelle corrispondenti ai punti interni (pallini azzurri) [risp. esterni (pallini arancioni)] al cerchio di centro $O$ e raggio $r=5$ o coincidenti con $A=(4,3)$ (pallino rosso); i pallini neri corrispondono a coppie che non sono $rho$-confrontabili con $(4,3)$.

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Da questa rappresentazione vedi tante cose.
Ad esempio, la $rho$ non è totale, poiché ogni coppia $(a,b) != (0,0)$ non è $rho$-confrontabile con almeno un’altra coppia (i.e., $(-a,b)$).
Inoltre, ti rendi conto che non ci sono coppie massimali rispetto a $rho$: infatti, scelta una coppia $(a,b)$, ogni coppia del tipo $(x,0)$ con $x>sqrt(a^2+b^2)$ è tale che $(a,b) rho (x,0)$, ma col cavolo che si ha $(x,0) = (a,b)$!