Numero di applicazioni tra due insiemi finiti.

[Pasquale 90]

Buongiorno,

Siano $|S|=n$, $|T|=t$ e $T^S={f:StoT\|\ f\ "applicazione"}.$.
Provare $|T^S|=t^n$ per ogni $n ge 1.$

Procedo per induzione su $n$, quindi sia $n=1.$
Se $n=1 \ to\ |S|=1$ quindi $S={a}.$
Sia $f : S \ to T leftrightarrow f: a in {a} \ to \ f(a) in T$, il valore $f(a) in T$ può assumere $t$ valori possibili, quindi possiamo assegnare $t$ funzioni da ${a}$ in $T$, cioè $|T^({a})|=t^1=t.$
La base d'induzione è verificata.

$"hp."$ Sia $m in NN\:\ m>1$
$|X|=m-1$, $|T|=t$ e $|T^X|=t^(m-1)$
$"th."$
$|V|=m$, $|T|=t$ allora $|T^V|=t^m$
Considero per il seguito $W=V-{x_1}$

Assegnare $f:V to T$ equivale ad assegnare le immagini $f(V)={f(x_1),f(x_2),f(x_3),...,f(x_m)} in T$, in particolare considero $x_1 in V$ allora $f(x_1)$ può assumere $t$ valori possibili.


Da adesso in poi sono un po confuso.
Considero la restrizione di $f$ su $W$, cioè $f_(| W) : W to T$, dove $|W|=m-1$, quindi per ipotesi di induzione $|T^(W)|=t^(m-1)$

Come le faccio a "unire" per far vedere che da una parte abbiamo $t$ scelte e d'altra $t^(m-1)$ per poi concludere $t cdot t^(m-1)=t^m$

Ciao

[hydro]

Direi che questa prova è inutilmente complicata. Definire una funzione $S\to T$ vuol dire semplicemente assegnare ad ogni elemento di $S$ un elemento di $T$. Per ogni elemento di $S$ ci sono $t$ scelte, quindi le funzioni sono $t^n$.

[Pasquale 90]

Ciao, si ma devo dimostrarlo per induzione.
Comunque forse mi sono perso in un bicchiere d'acqua sostanzialmente ho finito.
Cioè, basta che osservo che $W subseteq V$ con $|W| = m-1$ quindi per $"hp"$ ho $|T^W|=t^(m-1)$ e per $f(x_1)\,\ x_1 in V$ ho $t$ scelte, quindi infine ho $tcdott^(m-1)=t^m$
Ovviamente la conferma di ciò che dico aspetta a qualcuno che ne sà

Ciao

[Pasquale 90]

qualche suggerimento

[solaàl]

Non vedo dove sia il problema: data \(f : S \to T\), per ipotesi induttiva ci sono $t^{n-1}$ funzioni da \(S \smallsetminus \{s_0\}\) a \(T\), e ci sono $t$ scelte possibili per \(f(s_0)\). Fai il prodotto dei due numeri, fine.

[Pasquale 90]

Grazie mi sono confuso.