Polinomio monico di terzo grado irriducibile in $Q$, con zeri reali

[francicko]

Senza scomodare la teoria di Galois, dato il polinomio $a_0+a_1x+a_2x^2 +a_3x^3 $, è siano $x_1,x_2,x_3$ le radici del polinomio, come si può dimostrare che all'estensione $Q(x_1)$ appartengono le rimanenti radici $x_1,x_2$?

[Gi8]

Non mi sembra sia vero.
Prendiamo il polinomio $x^3+x$, ovvero $x(x^2+1)$. Le tre radici sono $0$, $i$ e $-i$.
Non è vero che $i$ e $-i$ appartengono a $QQ(0) =QQ$.

Forse bisogna aggiungere qualche ipotesi

[francicko]

Perché? Irriducibile in $Q$ significa che non può avere radici razionali è $0$¶lo è;
inoltre le radici devono appartenere ad $R$,ed $i$ ed $-i$ appartengono ai complessi $C$,ma non ad $R$.

[hydro]

Senza scomodare la teoria di Galois, dato il polinomio $a_0+a_1x+a_2x^2 +a_3x^3 $, è siano $x_1,x_2,x_3$ le radici del polinomio, come si può dimostrare che all'estensione $Q(x_1)$ appartengono le rimanenti radici $x_1,x_2$?

Non si può dimostrare perchè è falso. Ad esempio $f=x^3-5x+1$ ha 3 radici reali ma il suo campo di spezzamento ha grado 6 su $\mathbb Q$.

[francicko]

Hai ragione hydro!!
Nel polinomio $x^3 - 5x+1$, non è vero, è credo che la ragione come mi avevi già mostrato in precedenza, sta nel fatto che il $delta$ non appartiene a $Q$
cioè il $Delta$ non è un quadrato, diverso è il caso però nel polinomio $x^3 - 3x+1$ giusto?
A questo punto, la mia curiosità è di far vedere nel caso del polinomio $x^3 - 3x+1$, mettendo da parte la teoria di Galois, ignorandola, ifcome considerando l'estensione $Q(x_1)$ una qualsiasi altra radice del polinomio in questione $x_2,x_3$ , appartiene a tale estensione, che quindi risulterebbe normale (di galois), in pratica qualsiasi altra radice dovrebbe potersi scrivere nella forma $a_o+a_1x_1+a_2x_1^2 +... +a_ix_1^i$ per un certo$i$ $in$ $N$.
Ha senso così la mia domanda?

[hydro]

Sì ma la risposta è sempre la stessa e non ha nulla a che vedere con il fatto che gli zeri siano reali o no: un polinomio di grado 3 irriducibile su un campo $K$ è di Galois (ovvero $K(\alpha)$ è il suo campo di spezzamento per qualsiasi radice $\alpha$ del polinomio) se e solo se il discriminante è un quadrato in $K$.

[francicko]

Ok!E continuo a ringraziarti per le risposte!
Però la mia curiosità è vedere come nel caso del polinomio $x^3 - 3x+1$ sia possibile far vedere, considerando l'estensione $Q(x_1)$, una qualsiasi delle radici deve potersi scrivere nella forma $a_0+a_1x_1+a_2x_1^2 +... +a_ix_1^i$ per incerto $i$ $in$ $N$,magari solo una traccia,un suggerimento. Grazie!

[Gi8]

Perché? Irriducibile in $Q$ significa che non può avere radici razionali è $0$¶lo è;
inoltre le radici devono appartenere ad $R$,ed $i$ ed $-i$ appartengono ai complessi $C$,ma non ad $R$.

Non avevo letto con attenzione il titolo. Mi ero soffermato solo sul contenuto del tuo primo messaggio, in cui non si parla di polinomio irriducibile in $QQ$ con zeri reali. Tra l'altro non si parla nemmeno di polinomio monico, visto che scrivi $a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3$ (se fosse stato monico io avrei scritto direttamente $a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + x^3$).

Niente, se il polinomio deve essere irriducibile in $QQ$ e con zeri reali, il mio esempio chiaramente non va bene.

[hydro]

Ok!E continuo a ringraziarti per le risposte!
Però la mia curiosità è vedere come nel caso del polinomio $x^3 - 3x+1$ sia possibile far vedere, considerando l'estensione $Q(x_1)$, una qualsiasi delle radici deve potersi scrivere nella forma $a_0+a_1x_1+a_2x_1^2 +... +a_ix_1^i$ per incerto $i$ $in$ $N$,magari solo una traccia,un suggerimento. Grazie!

Scrivi $x_2=a_1+b_1x_1+c_1x_1^2$ e $x_2=a_2+b_2x_1+c_2x_1^2$ per $a_i,b_i,c_i\in\mathbb Q$ (tra l'altro dovranno essere interi perchè quel campo di numeri è monogenico), sostituisci nella relazione $f=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ e risolvi il sistema.