Eccovi un esercizietto che ho appena inventato:
Siano $S$ un insieme finito, $P(S)$ l'insieme dei sottinsiemi di $S$ e $X\sube P(S)$. Dimostrare che se $|X|>|P(S)|/2$, allora esistono $A,B\in X$ tali che $A\sub B$.
Si nota che gli elementi di tale insieme devono essere tutti
sottoinsiemi di $S$ di cardinalita' $[|S|/2]$ (l'intero piu' vicino), perche' se cosi' non fosse, potremmo sempre
prendere gli insiemi contenuti o contenenti l'insieme di cardinalita' diversa da $[|S|/2]$,
e ne troveremmo necessariamente almeno uno in piu', contro l'ipotesi di massimalita'.
TomSawyer ha scritto:Si dovrebbe poter abbassare il bound di $|P(S)|/2$ a $((|S|),([|S|/2]))$
TomSawyer ha scritto: Quindi ora basta provare che, comunque si prendano $2^{|S|-1}+1$ numeri interi compresi in $[1,2^{|S}-2]$, ce ne saranno sempre tre consecutivi.
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