Polinomi irriducibili in $A[x]$

[matths87]

Ciao ragazzi, sono alle prese con lo studio dell'esame di Algebra: ho un dubbio su un passaggio della dimostrazione del seguente teorema

sia $A$ un dominio fattoriale e $K$ il suo campo dei quozienti. Allora $f(x)\inA[x]$ è irriducibile se e solo se $f(x)$ è primitivo e irriducibile in $K[x]$.

La dimostrazione nel suo complesso mi è chiara, tranne nel passaggio in cui si asserisce che $f(x)$ irriducibile in $A[x]$ implica $f(x)$ primitivo.

Spero che qualcuno di voi mi possa aiutare.

[ficus2002]

$f(x)$ irriducibile in $A[x]$ implica $f(x)$ primitivo.

$5$ è irriducibile in $ZZ[x]$, ma non è primitivo. L'affermazione che hai citato è vera se $f$ è non constante.
Infatti:
se $f\ne 0$ non costante è un polinomio non primitivo, allora $f=a*g$ con $a\in A$ non nullo e non unitario e $g\in A[x]$ primitivo e non costate. Poichè anche $g$ è non unitario, $f$ riducibile in $A[x]$.

[studentessa]

Il passaggio che non ti è chiaro viene dal quarto punto del lemma di Gauss, il quale dice:

Sia $f(x)\inA[x]$ irriducibile e non costante, allora $f(x)$ è primitivo e irriducibile in $K[x]$

Ecco quindi spiegata l'implicazione. Spero che ti sia chiara.

[matths87]

Grazie mille per l'aiuto. Probabilmente mi farò vivo molto presto con altri dubbi