Chiarimento per una dimostrazione

[Steven]

Salve a tutti, vi chiedo gentilmente di mostrarmi un passaggio che non riesco a giustificare.
Si tratta della dimostrazione dell'algoritmo del Teorema Cinese del resto per i casi in cui ho più di 2 congruenze a sistema http://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem

In poche parole, si ha il sistema (i vari $n$ sono coprimi tra loro)
$x \equiv a_i(modn_1)$ con $n=1,2...,k$
Definiamo il prodotto dei vari $n$ come
$N=n_1\cdotn_2\cdot...\cdotn_k$
E consideriamo $n_i$ e $\frac{N}{n_i}$ possiamo dire che sono coprimi tra loro e per Bézout sussiste
$r_1n_1+s_1\cdotfrac{N}{n_1}=1$
Posto $s_1\cdotfrac{N}{n_1}=e_1$
Risulta
$e_1\equiv 1(modn_1)$ e anche $e_1\equiv 0(modn_j)$

Fin qui tutto facile, ciò che non capisco è questo: i virtù di che cosa conclude dicendo
"Una soluzione al sistema di congruenze è quindi"
$x=\sum_(i=1)^k a_1e_1$
??

Spero di non essermi dilungato troppo, ringrazio in anticipo chi vorrà darmiuna delucidazione in merito.
Buona serata,
Stefano

[TomSawyer]

Ciao! Le soluzioni sono tutte $x=\sum_{i=1}^k a_ie_i$, perché se prendi i vari moduli $n_i$, hai $x=a_1e_1+...a_ke_k \equiv a_i*1 (mod n_i)$, perché tutti gli $e_j$ di indice diverso da $i$, saranno $0$, e rimarrà solo $a_ie_i$, soddisfacendo così ogni congruenza del sistema.

ps: hai un po' di indici sballati

[Steven]

Ok, afferrato, ti ringrazio molto.

Ho visto che effettivamente ho fatto macello con gli indici, ma sto cercando di abbandonare il MathML per imparare il LaTex, da lì la confusione generale.

Visto che ci siamo, anche se centra poco, mi chiedevo: perchè questi argomenti che ruotano attorno alle congruenze, pur essendo catalogati TDN, vengono affrontati nei corsi di Algebra?

Grazie di nuovo, ciao.

[fields]

Visto che ci siamo, anche se centra poco, mi chiedevo: perchè questi argomenti che ruotano attorno alle congruenze, pur essendo catalogati TDN, vengono affrontati nei corsi di Algebra?

Perché quasi tutti i risultati di teoria modulare dei numeri sono corollari della teoria dei gruppi. Ci sono un sacco di risultati non banali (teorema di fermat, la ciclicità di $Z_p$ moltiplicativo, $p$ primo) che si dimostrano a livello puramente astratto di teoria dei gruppi.

[Steven]

Va bene, grazie per la risposta.
Ciao