dimostrazioni per induzione

[G.D.]

leggendo quà e là alcune dimostrazioni fatte per induzione ho avuto modo di vedere che il passo 2 della dimostrazione per induzione a volte è fatto partendo da $n$ altre volte da $n-1$...mi spiego meglio

il principio per induzione si basa su una doppia dimostrazione:
passo 1) dimostrare che la proprietà che si studia è valida per $1$ (o per il pimo naturale $n_0$ per i quali deve valere la proprietà)
passo 2) dimostare che, partendo dall'ipotesi che la proprietà è vera per $n$, allora è vera anche per $n+1$

ordunque, a proposito del passo 2) ho trovato che in alcune dimostrazioni rigurdo ad alcune proprietà si parte dall'ipotesi che la proprità sia vera per $n$ e si dimostra che allora è anche vera per $n+1$, mentre nelle dimostrazioni di altre proprità o teoremi si parte dall'ipotesi che la proprietà sia vera per $n-1$ per poi dimostrare che essa è vera anche per $n$

ora mi chiedevo se qualcuno volesse spiegarmi perchè a volte si parte da $n$ e perchè altre volte si parte da $n-1$: c'è una differenza teorica sostanziale che non colgo o lo si fa solo per questioni "stilistiche"?

[Martino]

Direi che si fa solo per questioni stilistico-estetiche... ma, certo, questa è la mia opinione

[codino75]

direi che e' solo una questione di nomi... non sostanziale.

[Gaal Dornick]

a volte l'espressione che trovi, e quindi i calcoli algebrici che devi fare, vengono più semplici se parti con $n$ oppure se parti con $n-1$
ci vuole un po' d'occhio..

Comunque alla fine è formalmente la stessa cosa

[antrope]

Alla fine l'importanza del principio di induzione è che:

1) P(0) è vera,
2) P(n) vera implica che P(n+1) è vera,

Alla fine se nei tuoi calcoli è piu semplice dimostrare che P(n+8) implica che P(n+9) è vera, penso sia indifferente

[Fioravante Patrone]

Alla fine l'importanza del principio di induzione è che:

1) P(0) è vera,
2) P(n) vera implica che P(n+1) è vera,

Alla fine se nei tuoi calcoli è piu semplice dimostrare che P(n+8) implica che P(n+9) è vera, penso sia indifferente

Sia $k$ un intero.

Se:

1) $P(k)$ è vera
2) per ogni $h \ge k$, $P(h)$ vera implica che $P(h+1)$ è vera,

allora:
$P(n)$ è vera per ogni $n \ge k$

[G.D.]

ok...vi ringrazio tutti...buon fine settimana