da Martino » 19/08/2007, 18:24
La dimostrazione segue in modo canonico dalla proprietà universale. La dimostrazione è bella e istruttiva, e una volta capita è davvero davvero semplice.
Se $A$ è un dominio si definisce il suo campo dei quozienti $(Q,\varepsilon)$, dove $Q$ è un campo e $\varepsilon:A \to Q$ un monomorfismo, dicendo che vale la seguente proprietà universale:
"Per ogni campo $K$ e ogni monomorfismo $\gamma:A \to K$ esiste un unico omomorfismo $f:Q \to K$ tale che $f \circ \varepsilon = \gamma$, ovvero ogni monomorfismo $A \to K$ si fattorizza unicamente tramite $\varepsilon$."
(osserva che in tale proprietà universale $f$ viene ad essere un monomorfismo perché $Q$ è un campo).
(quando dico che $a$ si fattorizza tramite $b$ intendo che esiste $c$ che composto dalla parte giusta con $b$ dà $a$; se dico che si fattorizza unicamente intendo che un tale $c$ è unico)
Quindi se $(Q_1,\varepsilon_1)$ e $(Q_2,\varepsilon_2)$ sono due campi dei quozienti di $A$, $\varepsilon_1$ e $\varepsilon_2$ in quanto monomorfismi si fattorizzano l'uno con l'altro (per le due proprietà universali), ovvero esistono unici i monomorfismi $f:Q_1 \to Q_2$ e $g:Q_2 \to Q_1$ tali che:
$f \circ \varepsilon_1 = \varepsilon_2$
$g \circ \varepsilon_2 = \varepsilon_1$
Ciò implica che
$(g \circ f) \circ \varepsilon_1 = \varepsilon_1$
$(f \circ g) \circ \varepsilon_2 = \varepsilon_2$
Queste due sono fattorizzazioni di $\varepsilon_{1,2}$ tramite loro stessi. Anche
$id_{Q_1} \circ \varepsilon_1 = \varepsilon_1$
$id_{Q_2} \circ \varepsilon_2 = \varepsilon_2$
sono fattorizzazioni di $\varepsilon_{1,2}$ tramite loro stessi. Le due proprietà universali dicono che tali fattorizzazioni devono essere uniche, quindi i fattori devono coincidere:
$id_{Q_1}=g \circ f$
$id_{Q_2}=f \circ g$
Ovvero, $f:Q_1 \to Q_2$ e $g:Q_2 \to Q_1$ sono omomorfismi uno l'inverso dell'altro. Ciò per definizione implica che $Q_1 \cong Q_2$.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
