|M(x)| < x/4

Messaggioda carlo23 » 19/08/2007, 14:22

Sia $M(x) = sum_(n < x) mu(n)$ dove $mu(n)$ è la la funzione di Mobius, dimostrare che esiste $m$ tale che $|M(x)| < x/4 forall x>m$.
carlo23
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Messaggioda lupo grigio » 31/08/2007, 14:24

Ragazzi
anche questa prima settimana di lavoro è arrivata al venerdì e pertanto concediamoci un poco di relax. Il quesito proposto da Carlo23 è [come sempre nel suo caso…] non proprio ‘elementare’ e coinvolge uno dei capitoli più ‘affascinanti’ della più bella branca della Matematica: la Matematica discreta. Parlando dei Linear feedback shift registers si è introdotta [un poco di sfuggita] la ‘funzione $mu$ di Moebius’ definita come…

$mu(n)=0$, se n ha uno o più fattori primi multipli,$=1$ se $n=1$, $=(-1)^k$ se n è il prodotto di $k$ primi distinti (1)

Ora la ‘funzione $M$ di Mertens’ di cui parla Carlo23 è legata alla funzione $mu$ dalla relazione…

$M(x)=sum_(n<=x) mu(n)$ (2)

Anche se a prima vista tale funzione non sembra tanto ‘attraente’, da oltre 120 anni essa è al centro dell’attenzione dei matematici a causa di una suggestiva congettura riguardo ad essa proposta dal matematico tedesco F. Mertens [da cui ha preso il nome]. Secondo tale congettura per ogni $x>1$ sarebbe…

$|M(x)|<sqrt(x)$ (3)

Anche questa ‘congettura’ a prima vista direbbe poco se non fosse per un piccolo dettaglio: se essa risultasse vera risulterebbe vera anche la ben più nota ‘congettura di Riemann’. Solo in tempi relativamente recenti [primi anni ‘80] la congettura di Mertens è stata invalidata da M. Odlyzko and H. J. J. te Riele. Dettagli al riguardo si possono trovare in…

http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arc ... sproof.pdf

… articolo dal contenuto non proprio ‘banale’ di cui non è consigliabile la lettura subito dopo pranzato…

Ovviamente la dimostrazione della ‘congettura’ di Carlo23…

$|M(x)|<x/4$, $x>m$ (4)

... è [presumibilmente] assai più ‘abbordabile’ di quella di Mertens e comunque costituisce un utile esercizio per chi intende approfondire questo genere di problemi. Questa settimana, per motivi che voi avrete sicuramente compreso, vi è stata nei miei riguardi sul forum una certa ‘atmosfera’ non tanto propizia per affrontare problemi impegnativi. Se la prossima settimana dovesse presentarsi sotto auspici più ‘favorevoli’ mi impegno, senz’altro anch’io nella soluzione del quesito proposto. Nel frattempo non posso far altro che raccomandare a tutti gli appassionati di Matematica discreta di dedicarci un poco di tempo… senza però esagerare!…

cordiali saluti

lupo grigio

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… chè perder tempo a chi più sa più spiace… Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
lupo grigio
 

Re: |M(x)| < x/4

Messaggioda carlo23 » 03/09/2007, 11:13

carlo23 ha scritto:Il quesito proposto da Carlo23 è [come sempre nel suo caso…] non proprio ‘elementare’


Ma figuriamoci, è completamente elementare

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Notiamo che $mu(2n + 1)+mu(4n + 2)=0$ per ogni $n$, infatti se $mu(2n + 1)=0$ allora $mu(4n + 2) = m(2(2n + 1)) = 0$ mentre se $|mu(2n + 1)|=1$ allora $mu(4n + 2) = m(2(2n + 1)) = -mu(2n + 1)$ poichè $2n+1$ è dispari.

$M(x) = sum_(4n <= x ) mu(4n) + sum_(4n + 2 <= x ) mu(4n+2) + sum_(2n + 1 <= x ) mu(2n+1)$

$M(x) = sum_(4n + 2 <= x ) mu(4n+2) + sum_(2n + 1 <= x ) mu(2n+1)$

$M(x) = sum_(4n + 2 <= x ) mu(4n+2) + sum_(4n + 2 <= x ) mu(2n+1) + sum_(2n + 1 <= x < 4n + 2) mu(2n + 1)$

$M(x) = sum_(2n + 1 <= x < 4n + 2) mu(2n + 1)$

e per $x$ sufficientemente grande

$|M(x)| = |sum_(2n + 1 <= x < 4n + 2) mu(2n + 1)| < |{ N nn ] (x - 2)/4, (x - 1)/2]}| <= x/4 + 1$

la disuguaglianza stretta segue abbastanza facilmente da alcuni argomenti al limite...
carlo23
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