Scomposizione di un polinomio

da **matths87** » 22/08/2007, 11:34

Qualcuno mi dà qualche suggerimento per risolvere questo esercizio?

Scomporre il polinomio $f(x)=x^12+2x^10+x^8+x^6-2x^4-x^2-2$ in $RR[x]$, $QQ[x]$ e $\mathbb{F}_3[x]$.

Usando la Regola di Ruffini si vede immediatamente che:

$f(x)=(x+1)(x-1)(x^10+3x^8+4x^6+5x^4+3x^2+2)$

da **Tipper** » 22/08/2007, 12:51

Allora per quanto riguarda $\mathbb{R}[x]$ e $\mathbb{Q}[x]$ hai fatto... Cosa intendi con $\mathbb{F}_{3}[x]$?

da **antrope** » 22/08/2007, 12:59

Secondo me era $ ZZ_3[x] $

da **ficus2002** » 22/08/2007, 12:59

matths87 ha scritto:Qualcuno mi dà qualche suggerimento per risolvere questo esercizio?

Scomporre il polinomio $f(x)=x^12+2x^10+x^8+x^6-2x^4-x^2-2$ in $RR[x]$, $QQ[x]$ e $\mathbb{F}_3[x]$.

Usando la Regola di Ruffini si vede immediatamente che:

$f(x)=(x+1)(x-1)(x^10+3x^8+4x^6+5x^4+3x^2+2)$

Sostituisci nella terza parentesi $t=x^2$ e ottieni il polinomio $t^5+3t^4+4t^3+5t^2+3t^1+2$ che ha radice $-2$. Dividendo con Ruffini trovi $1+t+2t^2+t^3+t^4$. Osserva che $\pm i$ sono radici di quest'ultimo polinomio in $CC$, Così esso è divisibile per $t^2+1$ in $RR[x]$ e $QQ[x]$. Alla fine trovi
$f(x)=(x+1)(x-1)(x^2+2)(x^4+1)(x^4+x^2+1)$
che è fattorizzazione di $f$ sia in $RR[x]$ che in $QQ[x]$.
Poi, in $ZZ_3$, ho $x^2+2=(x+1)(x-1)$, $x^4+1=(x^2+2x+2)(x^2+x+2)$ e $x^4+x^2+1=(x+1)^2(x-1)^2$, così
$f(x)=(x+1)^4(x-1)^4(x^2+2x+2)(x^2+x+2)$