Elementi inversi in quoziente

[matths87]

Salva a tutti.

Mi servirebbe un metodo generale per determinare l'inverso di un generico elemento non nullo del seguente campo:

$(QQ[x])/((x^2+1))

Grazie a chi mi risponderà

[Gaal Dornick]

non ricordo bene.. ma centrava l'identità di bezout

[Martino]

Se devi determinare l'inverso di $f(x)+(x^2+1) \in (QQ[X])/((x^2+1))$ puoi cercare polinomi $a(x)$, $b(x)$ a coefficienti in $QQ$ tali che $a(x)f(x)+b(x)(x^2+1)=1$ (identità di Bezout). Questo è possibile perché $x^2+1$ è irriducibile quindi primo (quindi coprimo con ogni altro polinomio di grado inferiore). Naturalmente in questo modo $a(x)$ è l'inverso di $f(x)$ modulo $x^2+1$.

Il procedimento per trovare $a$ e $b$ si chiama algoritmo di Euclide.

L'algoritmo di Euclide per i numeri interi ti permette, dati due numeri interi $x$ e $y$, di trovare altri due interi $a$ e $b$ tali che $ax+by=MCD(x,y)$.

Esso procede così: supponiamo di voler trovare $a$ e $b$ tali che $51a+21b=MCD(51,21)=3$. Si costruiscono diverse combinazioni lineari del tipo $51a_k+21b_k$ fino a giungere a quella voluta. Partiamo dalle due combinazioni "banali"

$51 \cdot 1+21 \cdot 0=51 = x$, con $a_1=1$, $b_1=0$.
$51 \cdot 0+21 \cdot 1=21 = y$, con $a_2=0$, $b_2=1$.

Effettuiamo la divisione di x per y, ottenendo quoziente $q_1=2$ e resto $r_1=9$. La terza combinazione dovrà avere come coefficienti $a_3=a_1-q_1a_2$, $b_3=b_1-q_1b_2$. Quindi $a_3=1$, $b_3=-2$. Otteniamo

$51a_3+21b_3=51 \cdot 1+21 \cdot (-2) = 9 = r_1$.

Effettuiamo la divisione di $y=21$ per $r_1=9$, ottenendo quoziente $q_2=2$ e resto $r_2=3$. La quarta combinazione dovrà avere come coefficienti $a_4=a_2-q_2a_3$, $b_4=b_2-q_2b_3$. Quindi $a_4=-2$ e $b_4=5$. Otteniamo

$51a_4+21b_4=51 \cdot (-2)+21 \cdot 5 = 3,$

cioè quello che volevamo.

In generale avrai $a_{n+2}=a_n-q_na_{n+1}$, $b_{n+2}=b_n-q_na_{n+1}$. Le divisioni andranno fatte tra due resti successivi.

Nel caso dei polinomi è lo stesso: si tratta di fare divisioni e dedurre quozienti e resti tra polinomi anziché tra numeri interi.

[matths87]

Come ho fatto a non pensarci?

L'Algoritmo di Euclide mi era già noto in $ZZ$ e in $K[x]$, con $K$ campo. Avrei dovuto arrivarci da solo...

Comunque grazie