Isomorfismo di anelli

[matths87]

Qualcuno mi aiuta con questo esercizio?

Dimostrare che tra $ZZ[sqrt(2)]$ e $ZZ[3sqrt(2)]$, dove con $3sqrt(2)$ intendo la radice cubica di 2, non esiste alcun isomorfismo di anelli.

Supponiamo per assurdo che un tale isomorfismo esista.
Abbiamo visto a lezione che l'unico automorfismo da $ZZ$ in sè stesso è l'identità (la dimostrazione è facile e la so). Quindi questo deve valere anche per gli anelli sopra scritti, con la restrizione a $ZZ$.
Però non riesco ad andare avanti, qualcuno riesce a darmi una mano?

[rubik]

se esistesse un tale isomorfismo $ZZ[3sqrt(2)]$ dovrebbe contenere un elemento che elevato alla terza da due. ora tutti gli elementi di $ZZ[3sqrt(2)]$ del sono del tipo $a+b3sqrt(2)$ con $a,binZZ$

calcoli $ (a+b3sqrt(2))^3 $ e lo poni uguale a due. ti verranno delle condizioni su a e b che si riveleranno impossibili. ci sono da fare un po' di conti, ma alla fine un cubo di binomio si può fare . dovrebbe essere esatto anche se non segue la strada che proponevi te

[matths87]

Ok, grazie, mi è chiaro.