matths87 ha scritto:Mi sembra strano che l'autore abbia intrapreso una strada così difficile quando il tutto era risolvibile in pochi passaggi. Sono in attesa di delucidazioni.
Beh, dipende dal punto di vista: se riesci a dimostrare che $QQ[\sqrt{5},\sqrt{11}]$ ha la stessa dimensione di $QQ[\sqrt{5}-\sqrt{11}]$ su $QQ$, valendo una inclusione deve valere anche l'altra. Ora, che $QQ[\sqrt{5},\sqrt{11}]$ abbia dimensione 4 su $QQ$ credo sia noto (se non sbaglio ogni volta che p e q sono primi distinti, $QQ[\sqrt{p},\sqrt{q}]$ ha dimensione 4 su $QQ$, e questo si vede usando la formula dei gradi). Quindi osservando che il polinomio $(16-x^2)^2-220$ ammette $\sqrt{5}-\sqrt{11}$ come zero, basterà dimostrare che esso è irriducibile in $QQ[X]$ (perché ha grado 4). Ora, Eisenstein non funziona, quindi forse bisogna fare una verifica diretta... se qualcuno si trova meglio a verificare la non riducibilità dei polinomi, forse questo metodo gli è più congeniale.
PS: per trovare un polinomio in $QQ[X]$ annullato da $\gamma = \sqrt{5}-\sqrt{11}$ si può osservare che $\gamma^2 = 16-2\sqrt{55}$, quindi riarrangiare per ottenere $16-\gamma^2=2\sqrt{55}$, ed elevare al quadrato ottenendo $(16-\gamma^2)^2=220$.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
tutto quello che ho scritto prima non è vero 
(o se è vero lo è per sbaglio)