Occhei ne propongo uno io....

[Giova411]

Visto che non è un Forum frequentatissimo propongo questo esercizio...
Posterò le mie soluzioni e possiamo confrontare i risultati... Ma non fidavi troppo di me


PS: Luca.B tu questi li risolvi in 4 secondi bendato e con uno che nel frattempo ti fa le torture cinesi... Vediamo se c'è qualcun altro che sa farlo...

PS2: spero di non aver sbagliato posto ma è un problema di Probabilità che richiede di saper utilizzare matrici e saper risolvere sistemini....

[antrope]

Ci penso io anche perchè la parte sulle catene di Markov è quella che mi è piaciuta di piu

Possiamo modellizzare ovviamente la catena di Markov con uno spazio degli stati che equivale alle 4 città:

Indichiamo quindi Milano con $ 'M' $ , Londra con $ 'L' $ , New York con $ 'NY' $ e Portland con $ 'P' $ .

a) La catena di Markov associata a questo tipo di problema è quindi:

$ ((0,2/3,1/3,0),(1/3,0,2/3,0),(1/5,2/5,0,2/5),(0,1/3,2/3,0)) $ e ovviamente le città in ordine su righe e colonne sono Milano, Londra, New York e Portland.

b) Non so rispondere al periodo perchè non ne abbiamo proprio parlato nel corso ma posso provare a dire il resto

Per calcolare le probabilità basta effettuare le potenze della matrice di transizione, e abbiamo:

$ P(X_1 = M | X_0 = M) = 0 $
$ P(X_2 = M | X_0 = M) = 13/45 $
$ P(X_3 = M | X_0 = M) = 2/15 $

c) Il limite della matrice non so se è inteso come Distribuzione stazionaria, ma comunque esiste poichè la catena è ergodica (già per $ n = 3 $) e quindi tramite alcuni calcoli abbiamo che:

$ (pi_1,pi_2,pi_3,pi_4) = (73/384,25/64,23/192,115/384) $

Gli ultimi calcoli sono fatti con derive, quindi penso siano corretti :p

[Giova411]

Ciao!
Perfetti a e b

b) Non so rispondere al periodo perchè non ne abbiamo proprio parlato nel corso ma posso provare a dire il resto

Questo neanche io ,
ma sospetto che si possa fare rendendo lo stato M assorbente lines seta ultra....
Cioé è come se si calcolasse il tempo medio per giungere a Milano...
MA NON SONO SICURO
(dopo provo a farlo!)

c) Il limite della matrice non so se è inteso come Distribuzione stazionaria, ma comunque esiste poichè la catena è ergodica (già per $ n = 3 $) e quindi tramite alcuni calcoli abbiamo che:

$ (pi_1,pi_2,pi_3,pi_4) = (73/384,25/64,23/192,115/384) $

Gli ultimi calcoli sono fatti con derive, quindi penso siano corretti :p

Qua a me viene diversa la misura invariante....
Io l'ho fatta a mano come si faceva ai vecchi tempi... Eh, non ci sono più le cose buone di una volta...
Scherzi a parte, sei sicuro? Io l'ho fatto risolvendo il sistemino e ottengo:

$(51/271, 73/271, 105/271, 42/271)$
Fammi sapé

[Giova411]

Forse per calcolare il "periodo dello stato Milano" bisogna appunto calcolare il tempo di assorbimento in M paratendo da M...

E il sistema che ho impostato:

${(2y+1=x),(2/5x+2/5z+1=y),(1/3x+2/3y+1=z):}$

Poi FORSE bisogna prendere in considerazione il solo valore di $x$ visto che parto da M. Quindi, il primo dei tre, dovrebbe venire un periodo di $6.6$ viaggi....


Cmq questo punto non è chiaro...
Forse gli unici a potercelo spiegare sono SuperLucaB e Piera.

[luca.barletta]

Se per periodo si intende il tempo medio di ricorrenza nello stato 'M', allora si può calcolare questo tempo medio $m_(1,1)$ come: $m_(1,1)=1+sum_(i=2)^4 p_(1,i)m_(i,1)$, dove i tempi medi di primo passaggio $m_(i,1)$ risolvono il sistema:
$m_(j,1)=1+sum_(i=2)^4 p_(j,1)m_(i,1)$ con $j={2,3,4}$.
Per comodità ho indicato gli stati con i numeri da 1 a 4 invece che con le sigle M L NY P.

[Giova411]

Ah ma allora ci sei!!!! Grande Luca! Quanto tempo!
Ma l'hai fatto da bendato e col cinese che ti fa le torture?! Se no, non vale!!!


Sì, se è proprio quello che intende il testo allora mi sa che ho fatto giusto!!!!!

Solo che ho un dubbio col valore da prendere... Quale dei tre che offre la soluzione del sistema?
Ho pensato al primo, perché è dal primo stato che parto...

[luca.barletta]

Ma l'hai fatto da bendato e col cinese che ti fa le torture?! Se no, non vale!!!

come da accordo!

Solo che ho un dubbio col valore da prendere... Quale dei tre che offre la soluzione del sistema?
Ho pensato al primo, perché è dal primo stato che parto...

risolvi il sistema 3x3 che ti dà le soluz $m_(2,1),m_(3,1),m_(4,1)$, infine usi queste per calcolare $m_(1,1)$ con la prima formula che ho scritto

[Giova411]

Dovevo interpretare tutti i simboletti che, ad occhio, pensavo di aver capito... Mi faccio il figo ma non posso proprio permettermelo....

Sistema da fare era:

${(x=1+1/3x+1/3y+1/3z),(y=1+1/5x+1/5y+1/5z),(z=1):}$
${(x=22/7),(y=16/7),(z=1):}$

$t=3.86$ diciamo $4$ viaggi...

Sempre se ho interpretato bene il suggerimento

[luca.barletta]

$m_(j,1)=1+sum_(i=2)^4 p_(j,i)m_(i,1)$ con $j={2,3,4}$.

ti imposto questo sistema con i numeri:
${(m_(2,1)=1+p_(2,2)m_(2,1)+p_(2,3)m_(3,1)+p_(2,4)m_(4,1)),(m_(3,1)=1+p_(3,2)m_(2,1)+p_(3,3)m_(3,1)+p_(3,4)m_(4,1)),(m_(4,1)=1+p_(4,2)m_(2,1)+p_(4,3)m_(3,1)+p_(4,4)m_(4,1)):}$
diventa
${(m_(2,1)=1+2/3m_(3,1)),(m_(3,1)=1+2/5m_(2,1)+2/5m_(4,1)),(m_(4,1)=1+1/3m_(2,1)+2/3m_(3,1)):}$

ora risolvi secondo le 3 incognite e sostituisci nella formula per trovare $m_(1,1)$, che è il periodo del primo stato.

[Giova411]

E infatti mi veniva uguale a questo:

Forse per calcolare il "periodo dello stato Milano" bisogna appunto calcolare il tempo di assorbimento in M paratendo da M...

E il sistema che ho impostato:

${(2y+1=x),(2/5x+2/5z+1=y),(1/3x+2/3y+1=z):}$

Poi FORSE bisogna prendere in considerazione il solo valore di $x$ visto che parto da M. Quindi, il primo dei tre, dovrebbe venire un periodo di $6.6$ viaggi....

Quindi siccome era uguale a questo sopra me ne sono "inventato" un altro... Ma è anche colpa della Canalis che è troppo gnocca! Peccato che è interista... Un difetto doveva pure averlo...


Ok il sistema mi veniva: $x=1386/209, y=68607/6897, z=168/19$ Questi valori dici di ficcarli nella prima formula che hai postato nel primo post giusto? Io avevo preso il primo perché parte dal primo stato...

Spero di non cannare ancora... (Non c'é + la Canalis ora e non ho scuse)

$t=1+2/3*1386/209 + 1/3*68607/6897 + 0* 168/19 = 8,74$