1) trovare il polinomio minimo $f(x)$ su $QQ$.
$f(x)=x^4-26x^2+1$ è irriducibile (non ha radici in $QQ$ e non può essere scritto come prodotto di irriducibili di secondo grado in $QQ[x]$) e ha come radice $u$, pertanto $[QQ(u):QQ]=4$.
2) trovare il campo di spezzamento di $f(x)$ su $QQ$.
$QQ(sqrt(7),sqrt(6))$ è il campo richiesto, in quanto tutte le radici reali di $f(x)$ sono combinazione lineare di $sqrt(7)$ e $sqrt(6)$.
Fin qui credo che sia tutto giusto (almeno spero, avendo l'esame fra dieci giorni
) .
Ho trovato una maniera per dimostrare che $QQ(u)$ è uguale $QQ(sqrt(7),sqrt(6))$, facendo uso del teorema dei gradi. La mia domanda è la seguente: c'è una maniera diretta per arrivare a dire che il campo di spezzamento è $QQ(u)$?