teoria dei numeri

[valiensona]

Ciao a tutti, qualcuno sa dim. che $sum_(n<=x)(\theta(n+h) - \theta(n))<<hx$, dove definiamo $\theta(n) = sum_(p<=n)log p$ dove p sono numeri primi? Ci giro intorno ma non ci arrivo mai...
Grazie!

[TomSawyer]

Sei cento per cento sicuro del problema? Perché sappiamo che $\theta(x)=\Theta(x)$, cioè esistono $c,d \in RR$ tali che $cx \le \theta(x) \le dx$, quindi non mi sembra che $\lim_{x\to\infty} (\sum_{n \le x}( \theta(n+h)-\theta(n)))/(hx)$ faccia $0$.

[valiensona]

E' un problema mi è stato assegnato per esercizio, per cui sono abbastanza sicura che la tesi da dimostrare sia vera. Ci dev'essere qualche trucco... Ciao

[TomSawyer]

Non capisco come possa essere vera. Immagino che per $f << g$ (notazione di Hardy) tu intenda $f=o(g)$ e che $h,x \in RR$.

Se è così, allora basta prendere $h$ naturale per falsificare la tesi. Allora si avrà $\lim_{x\to\infty} (\sum_{n \le x}( \theta(n+h)-\theta(n)))/(hx)=\lim_{x\to\infty} (\sum_{i=1}^h(\theta([x]+i)-\theta(i)))/(hx)=1+o(1)$.