Problemino di algebra

[matths87]

Si considerino in $ZZ[x]$ i polinomi $f(x)=x^3+x+1$ e $g(x)=x^4+x^2+1$ e gli ideali $I=(2,f(x))$ e $J=(2,g(x))$.
a) determinare quale degli ideali $I$ e $J$ è primo;
b) determinare quale degli ideali $I$ e $J$ è massimale.

Questo è quello che sono riuscito a dedurre.
Sappiamo che se un ideale è massimale allora è primo (il viceversa, in generale, non vale). Abbiamo che $(x^2+x+1)^2=x^4+x^2+1+2x^3+2x+2x^2$ appartiene a $J$, ma $x^2+x+1$ non ne fa parte. Quindi, ricordando la definizione di ideale primo, $J$ non è primo quindi neanche massimale.
In questo modo abbiamo descritto l'ideale $J$.

Cosa si può dire per l'ideale $I$ ?
Aspetto le vostre risposte

[Martino]

Mi pare che siccome (indico $ZZ/(2ZZ)$ con $F_2$)

$(ZZ[X])/((2;x^3+x+1)) \cong (F_2[X])/((x^3+x+1))$

è un campo (in quanto $x^3+x+1$ è irriducibile modulo 2: non ha zeri), l'ideale $I$ è massimale.

[matths87]

La tua osservazione non mi è del tutto chiara...

Comi dimostri l'isomorfismo che hai utilizzato?

[Martino]

Considera l'omomorfismo

$\varphi:\ ZZ[X] \to (F_2[X])/((\overline{f}(x)))$
$g(x) \mapsto \overline{g}(x)+(\overline{f}(x))$

dove la "barra sopra" indica la congruenza modulo 2. Chiaramente $2$ e $f(x)$ appartengono al nucleo di $\varphi$.

Per mostrare che $ker(\varphi) \subseteq (2,f(x))$ prendi $g(x) \in ker(\varphi)$, cosicché $\overline{g}(x)+(\overline{f}(x))=0$. Ciò significa che esiste $h(x) \in ZZ[X]$ tale che $\overline{g}(x)=\overline{f}(x)\overline{h}(x)$. Ciò significa che esiste $l(x) \in ZZ[X]$ tale che $g(x)-f(x)h(x)=2l(x)$. Quindi $g(x)=f(x)h(x)+2l(x) \in (2,f(x))$. Ho così mostrato che $ker(\varphi)=(2,f(x))$.

Usando il primo teorema di omomorfismo, concludi ($\varphi$ è chiaramente suriettiva).

[matths87]

Non riesco a leggere la tua dimostrazione. A tratti, appare "invalid-markup" (non credo che dipenda da Mozilla Firefox, che è il mio browser).
Saresti così gentile da riscriverla in maniera leggibile?
Grazie in anticipo per l'aiuto

[Martino]

Non riesco a leggere la tua dimostrazione. A tratti, appare "invalid-markup" (non credo che dipenda da Mozilla Firefox, che è il mio browser).
Saresti così gentile da riscriverla in maniera leggibile?
Grazie in anticipo per l'aiuto

Cavolo
Io ho explorer e la leggo perfettamente.

Ok, ora vado a mangiare e poi vedo se posso fare qualcosa.

[matths87]

Non disturbarti, ho ripescato il vetusto IE 6.0 dai meandri dell'hard disk: con quello riesco a leggere tranquillamente la dimostrazione. Misteri della tecnologia...

Grazie dell'aiuto, probabilmente mi rifarò vivo prestissimo con altri dubbi